Напишите уравнение касательных к параболе y=x2-3x в точках с ординатой 4
Для нахождения уравнения касательных к параболе \( y = x^2 - 3x \) в точках с ординатой 4, сначала найдем соответствующие значения аргумента \( x \), при которых ордината равна 4.
- Найдем точки, где \( y = 4 \):
\[ x^2 - 3x = 4 \]
Приведём уравнение к стандартному виду:
\[ x^2 - 3x - 4 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся дискриминантом:
\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]
Так как дискриминант положителен, у уравнения два корня:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2} = -1 \]
Таким образом, точки касания будут \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = -1 \). Найдем координаты соответствующих точек на параболе:
Для \( x = 4 \): \[ y = 4^2 - 3 \cdot 4 = 16 - 12 = 4 \quad \text{(точка (4, 4))} \]
Для \( x = -1 \): \[ y = (-1)^2 - 3 \cdot (-1) = 1 + 3 = 4 \quad \text{(точка (-1, 4))} \]
Теперь найдем производную функции \( y = x^2 - 3x \), чтобы вычислить угловые коэффициенты касательных:
\[ y' = 2x - 3 \]
Теперь находим угловые коэффициенты в найденных точках:
Для \( x = 4 \): \[ y'(4) = 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5 \]
Для \( x = -1 \): \[ y'(-1) = 2 \cdot (-1) - 3 = -2 - 3 = -5 \]
Теперь можем записать уравнения касательных. Уравнение касательной к функции имеет вид:
\[ y - y_0 = m(x - x_0) \]
где \( m \) — угловой коэффициент, \( (x_0, y_0) \) — координаты точки касания.
- Для точки \( (4, 4) \) с угловым коэффициентом \( 5 \):
\[ y - 4 = 5(x - 4) \] \[ y - 4 = 5x - 20 \] \[ y = 5x - 16 \]
- Для точки \( (-1, 4) \) с угловым коэффициентом \( -5 \):
\[ y - 4 = -5(x + 1) \] \[ y - 4 = -5x - 5 \] \[ y = -5x - 1 \]
Таким образом, уравнения касательных к параболе \( y = x^2 - 3x \) в точках с ординатой 4:
- \( y = 5x - 16 \)
- \( y = -5x - 1 \)
