даны два вектора a{0;-2;2} и b {-3;9;3}. Найдите угол между этими векторами

Чтобы найти угол между двумя векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), можно использовать формулу, основанную на скалярном произведении векторов:

\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \]

где:

• \( \theta \) — угол между векторами,
• \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) — скалярное произведение векторов,
• \( |\vec{a}| \) и \( |\vec{b}| \) — длины (модули) векторов.

Шаг 1: Найдите скалярное произведение \( \vec{a} \cdot \vec{b} \)

Вектора \( \vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \) и \( \vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ 9 \\ 3 \end{pmatrix} \).

Скалярное произведение рассчитывается по формуле:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 \]

Подставляем значения:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \cdot (-3) + (-2) \cdot 9 + 2 \cdot 3 \] \[ = 0 - 18 + 6 = -12 \]

Шаг 2: Найдите длину векторов \( |\vec{a}| \) и \( |\vec{b}| \)

Длина вектора определяется как:

\[ |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \]

Для вектора \( \vec{a} \):

\[ |\vec{a}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

Теперь для вектора \( \vec{b} \):

\[ |\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 9^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 81 + 9} = \sqrt{99} = 3\sqrt{11} \]

Шаг 3: Найдите косинус угла

Теперь подставим всё в формулу для \( \cos(\theta) \):

\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-12}{(2\sqrt{2})(3\sqrt{11})} \]

Рассчитываем \( |\vec{a}| |\vec{b}| \):

\[ |\vec{a}| |\vec{b}| = 2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{11} = 6\sqrt{22} \]

Теперь подставим обратно:

\[ \cos(\theta) = \frac{-12}{6\sqrt{22}} = -\frac{2}{\sqrt{22}} = -\frac{2\sqrt{22}}{22} = -\frac{\sqrt{22}}{11} \]

Шаг 4: Найдите угол \( \theta \)

Чтобы найти угол, необходимо взять арккосинус:

\[ \theta = \cos^{-1}(-\frac{\sqrt{22}}{11}) \]

Эта величина даст угол между векторами в радианах или градусах, в зависимости от того, в каком формате вы хотите его получить. Обычно, угол будет в диапазоне от 0 до 180 градусов. Зная значение косинуса, можно использовать калькулятор для нахождения угла.

Заключение

Таким образом, угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) можно найти, вычислив \( \theta = \cos^{-1}(-\frac{\sqrt{22}}{11}) \).