Чтобы построить график квадратичной функции ( y = x^2 - 9 ) и найти значение аргумента, при котором функция принимает отрицательное значение, выполним следующие шаги.
Шаг 1: Определение функции
Наша функция имеет вид:
[ y = x^2 - 9 ]
Это квадратичная функция, которая может быть переписана в виде:
[ y = (x^2 - 9) = (x - 3)(x + 3) ]
То есть это разложение на множители, которое показывает, что функция имеет нули при ( x = 3 ) и ( x = -3 ).
Шаг 2: Найдем вершину параболы
Квадратичная функция ( y = ax^2 + bx + c ) принимает свою вершину в точке:
[ x_v = -\frac{b}{2a} ]
В нашей функции ( a = 1 ) и ( b = 0 ), следовательно:
[ x_v = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0 ]
Теперь подставим ( x_v ) в уравнение для нахождения значения функции в этой точке:
[ y_v = (0)^2 - 9 = -9 ]
Итак, вершина параболы находится в точке ( (0, -9) ).
Шаг 3: Определение знаков функции
Чтобы выяснить, при каких значениях ( x ) функция ( y ) принимает отрицательное значение, проанализируем график функции.
- Найдем значения ( x ) для корней функции:
- ( y = 0 ) имеет две корни: ( x_1 = -3 ) и ( x_2 = 3 ).
- Нарисуем числовую ось и отметим точки ( -3 ), ( 0 ) и ( 3 ):
- Для ( x < -3 ): ( y ) будет положительным, так как ( x^2 ) там больше 9.
- Для ( -3 < x < 3 ): ( y ) будет отрицательным, так как значения находятся между корнями.
- Для ( x > 3 ): ( y ) снова будет положительным.
Шаг 4: Найдем отрицательные значения
Теперь мы можем сделать вывод: функция принимает отрицательные значения на интервале:
[ (-3, 3) ]
Шаг 5: Построение графика
- Отметим на координатной плоскости вершину параболы ( (0, -9) ).
- Отметим корни функции ( (-3, 0) ) и ( (3, 0) ).
- Проведем параболу, которая будет открыта вверх, проходя через точки, которые мы отметили.
Заключение
Таким образом, график функции ( y = x^2 - 9 ) будет выглядеть как парабола, открытая вверх, с вершиной в точке ( (0, -9) ). Функция принимает отрицательные значения на интервале ( (-3, 3) ).
