В дереве 100 вершин. Найдите среднее арифметическое степеней всех вершин этого дерева.
Чтобы найти среднее арифметическое степеней всех вершин дерева с 100 вершинами, нам нужно понимать несколько ключевых моментов о деревьях и степенях вершин.
Определения:
- Степень вершины (degree) — это количество рёбер, соединённый с данной вершиной. Вершина с высокой степенью имеет много соседей, а с низкой — меньше.
- Дерево — это связный граф без циклов. В дереве с \( n \) вершинами всегда \( n - 1 \) рёбер.
Шаги решения:
Подсчитаем количество рёбер: В дереве с \( n = 100 \) вершинами количество рёбер будет: \[ E = n - 1 = 100 - 1 = 99. \]
Сумма степеней вершин: Существует важная теорема в теории графов, которая говорит, что сумма степеней всех вершин в графе равна удвоенному количеству рёбер: \[ S = 2E. \] Подставив найденное количество рёбер, получаем: \[ S = 2 \cdot 99 = 198. \]
Находим среднее арифметическое степеней вершин: Теперь, чтобы найти среднее арифметическое степеней всех вершин, нужно сумму степеней \( S \) разделить на количество вершин \( n \): \[ \text{Среднее арифметическое} = \frac{S}{n} = \frac{198}{100} = 1.98. \]
Ответ:
Среднее арифметическое степеней всех вершин этого дерева составляет \( 1.98 \).
