Найти стационарные точки функции: f(x) = x^5/5 - 4/3x^3 +9
Для нахождения стационарных точек функции необходимо выполнить несколько шагов. Рассмотрим вашу задачу подробнее.
Дано:
Функция:
\[ f(x) = \frac{x^5}{5} - \frac{4}{3}x^3 + 9 \]
Шаг 1: Найти производную функции
Стационарные точки функции определяются там, где её производная равна нулю. Поэтому сначала найдем производную функции \( f(x) \).
Для нахождения производной используем правила дифференцирования:
- Производная \( \frac{x^n}{n} \) равна \( x^{n-1} \).
- Производная \( cx^n \) равна \( cnx^{n-1} \), где \( c \) — константа.
Теперь применим это к нашей функции:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^5}{5}\right) - \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{3}x^3\right) + \frac{d}{dx}(9) \]
Вычисляем производные термов:
- \(\frac{d}{dx}\left(\frac{x^5}{5}\right) = x^4\)
- \(\frac{d}{dx}\left(\frac{4}{3}x^3\right) = 4x^2\)
- \(\frac{d}{dx}(9) = 0\)
Таким образом, получаем:
\[ f'(x) = x^4 - 4x^2 \]
Шаг 2: Найти стационарные точки
Теперь найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю:
\[ x^4 - 4x^2 = 0 \]
Факторизуем это выражение:
\[ x^2(x^2 - 4) = 0 \]
Шаг 3: Решить уравнение
Теперь решим уравнение \( x^2(x^2 - 4) = 0 \):
- \( x^2 = 0 \) → \( x = 0 \)
- \( x^2 - 4 = 0 \) → \( x^2 = 4 \) → \( x = 2 \) или \( x = -2 \)
Таким образом, стационарные точки функции находятся в точках:
\[ x = 0, \, x = 2, \, x = -2 \]
Шаг 4: Подытожим
Стационарные точки функции \( f(x) = \frac{x^5}{5} - \frac{4}{3}x^3 + 9 \) — это \( x = -2, \; x = 0, \; x = 2 \).
Теперь вы знаете, как находить стационарные точки функции, используя производные! Если у вас есть вопросы по этому процессу, не стесняйтесь задавать их.
