Найдите вероятность выбросить ровно 7 орлов, 12 раз бросив монету.

Чтобы найти вероятность выбросить ровно 7 орлов при 12 бросках монеты, мы используем биномиальное распределение. Биномиальное распределение описывает количество успехов в серии независимых испытаний, где каждый результат имеет два возможных исхода (например, орел или решка).

Шаг 1: Определение параметров

В данной задаче у нас есть следующие параметры:

• n (общее количество бросков) = 12
• k (количество орлов, которые хотим получить) = 7
• p (вероятность успеха, т.е. вероятность получить орла в одном броске) = 0.5 (поскольку монета симметричная)

Шаг 2: Формула биномиального распределения

Вероятность получения ровно k успехов (в нашем случае, орлов) из n испытаний можно вычислить по формуле биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где:

• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
• \( p^k \) — вероятность получить орлов (успехов)
• \( (1 - p)^{n - k} \) — вероятность получить решки (неуспехов)

Шаг 3: Подсчёт биномиального коэффициента

Сначала вычислим \( C(12, 7) \):

\[ C(12, 7) = \frac{12!}{7!(12-7)!} = \frac{12!}{7!5!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \]

Теперь посчитаем числитель:

\[ 12 \times 11 = 132 \] \[ 132 \times 10 = 1320 \] \[ 1320 \times 9 = 11880 \] \[ 11880 \times 8 = 95040 \]

И теперь разделим на \( 5! = 120 \):

\[ C(12, 7) = \frac{95040}{120} = 792 \]

Шаг 4: Подставим значения в формулу

Теперь подставим все значения в формулу:

\[ P(X = 7) = C(12, 7) \cdot (0.5)^7 \cdot (0.5)^{12 - 7} = 792 \cdot (0.5)^{12} \]

Поскольку \( (0.5)^{12} = \frac{1}{4096} \):

\[ P(X = 7) = 792 \cdot \frac{1}{4096} = \frac{792}{4096} \]

Шаг 5: Упрощение

Теперь упростим дробь:

Находим наибольший общий делитель (НОД) 792 и 4096. НОД равен 16:

\[ \frac{792 \div 16}{4096 \div 16} = \frac{49.5}{256} \]

Так как 49.5 не целое число, следовательно мы ещё можем заметить, что \(\frac{792}{4096}\) уже в простом виде.

Ответ

Таким образом, вероятность выбросить ровно 7 орлов при 12 бросках монеты составляет:

\[ P(X = 7) \approx 0.193359375 \]

Для удобства это можно выразить как дробь: \(\frac{99}{512}\) или приблизительно 19.34%.