Дан куб АВСDA_1 B_1 C_1 D_1 и плоскости α и β. Плоскость α перпендикулярна прямой A_1 С_1, а β параллельна CD_(1.) Найдите наименьший возможный угол между плоскостями α и β
Для решения задачи о нахождении наименьшего угла между плоскостями α и β в кубе, давайте сначала проанализируем условия и свойства объектов, упомянутых в задаче.
Шаг 1: Определение объектов
Куб: Обозначим куб как ABCDA_1B_1C_1D_1. В этом кубе:
- A, B, C, D — верхняя грань (верхний квадрат) куба,
- A_1, B_1, C_1, D_1 — соответствующие верхней грани вершины нижней грани (нижний квадрат) куба.
Прямые и плоскости:
- Плоскость α перпендикулярна прямой A_1C_1.
- Плоскость β параллельна отрезку CD₁.
Шаг 2: Определение направлений
Прямая A_1C_1 идет по диагонали между точками в нижней и верхней гранях куба.
В координатах (если предположить, что куб имеет длину ребра 1 и расположение в координатной системе):
- A(0, 0, 0)
- B(1, 0, 0)
- C(1, 1, 0)
- D(0, 1, 0)
- A_1(0, 0, 1)
- B_1(1, 0, 1)
- C_1(1, 1, 1)
- D_1(0, 1, 1)
Вектор прямой A_1C_1: \[ \overrightarrow{A_1C_1} = (1 - 0, 1 - 0, 0 - 1) = (1, 1, -1) \]
Шаг 3: Нахождение нормали плоскости α
Плоскость α, перпендикулярная вектору A_1C_1, будет иметь нормаль, которая совпадает с вектором (1, 1, -1).
Шаг 4: Нахождение нормали плоскости β
Плоскость β параллельна отрезку CD_1, определим вектор этого отрезка:
- Вектор CD_1: \[ \overrightarrow{CD_1} = (0 - 1, 1 - 1, 1 - 0) = (-1, 0, 1) \] Таким образом, нормаль к плоскости β можно взять, например, как вектор (0, -1, -1), который перпендикулярен вектору CD_1 и задает направление для плоскости β.
Шаг 5: Нахождение угла между плоскостями
Теперь, когда мы знаем нормали обеих плоскостей, мы можем найти угол между ними.
- Нормаль к плоскости α: N₁ = (1, 1, -1)
- Нормаль к плоскости β: N₂ = (0, -1, -1)
Угол θ между двумя плоскостями можно определить по формуле: \[ \cos(\theta) = \frac{|N_1 \cdot N_2|}{|N_1| \cdot |N_2|} \]
Шаг 6: Вычисление
Скалярное произведение: \[ N_1 \cdot N_2 = 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) = 0 - 1 + 1 = 0 \]
Нормы векторов: \[ |N_1| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \] \[ |N_2| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2} \]
Подставляем в формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{|0|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = 0 \] Следовательно, угол θ равен 90 градусов.
Ответ
Наименьший угол между плоскостями α и β составляет 90 градусов.
