Новый Год праздновали 32 сотрудника трёх отделений банка. В малом отделении сотрудников меньше, а в большом – больше, чем в среднем. Все расселись вокруг праздничного стола. Посмотрев на своего соседа справа, каждый сидящий за столом подумал: – Солжёт тот, кто скажет, будто сидящий от меня по правую руку работает в более крупном отделении, чем я. Среди подуманных мыслей ровно 20 оказались ошибочными. Сколько сотрудников в среднем отделе?

Для решения этой задачи начнем с формулировки и анализа условий. 1. **Обозначим количество сотрудников в трех отделениях:** - Пусть \( x \) — количество сотрудников в малом отделении, - \( y \) — количество сотрудников в среднем отделении, - \( z \) — количество сотрудников в большом отделении. Мы также знаем, что общее количество сотрудников равно 32: \[ x + y + z = 32 \] 2. **Сравнение отделений:** Из условия задачи следует, что в малом отделении меньше сотрудников, а в большом — больше, чем в среднем. Это можно записать как: \[ x < y < z \] 3. **Мысли сотрудников:** Каждый сотрудник, сидящий за столом, смотрит на соседа справа и делает вывод о том, в каком отделении он работает. Если сотрудник сидит, например, в среднем отделении (где \( y \)), то он ошибётся в своей мысли (то есть скажет, что сосед по правую руку из более крупного отделения), если сосед работает в среднем или малом отделении. Пусть распределим сотрудников по отделениям: - Номер малых отделений: \( x \) - Номер средних отделений: \( y \) - Номер больших отделений: \( z \) **Ошибочные мысли:** Ошибка возникает, когда сотрудник считает, что сосед (по правую руку) из большого отделения. Таким образом, если 20 мыслей оказались неправильными, то: - Это означает то, что 20 сотрудников из 32 либо работают в малом отделении, либо в среднем, в то время как их соседи работают в большом отделении. Таким образом, число сотрудников в большом отделении \( z \) влияет на количество таких ошибочных мнений. Если по правую руку от всех, кто находится в большом отделении, сидит кто-то из среднего или малого, это составит 20. 4.**Поиск количества сотрудников в среднем отделении:** Поскольку \( x < y < z \), предположим, что: - Пусть \( x = a \) (меньше всех), - \( y = b \) (среднее), - \( z = c \) (больше всех). С учетом того, что 20 из 32 сделали ошибку, мы можем выделить группы: Если: - 12 из x и y работают в большом департаменте, тогда 20 — это 12 (соседей из маленького и среднего) + 8 из большого. Поскольку x+y+z=32 будет, если считать, что c=20. Подбирая через (x,y,z=32-20). Можно утверждать, что: \[ c = 20 \] Подставляя z, когда \( b=y=z-1 \) (так как на больше отделение должно быть самое большое по предполагаемой формуле). Получается, что в среднем 12. Исключения и проверки дадут нам уникальное решение, так как каждое отделение должно иметь свое число. Таким образом: \[ y = 12 \] **Ответ:** В среднем отделе работает 12 сотрудников.