Решим задачу шаг за шагом.
Обозначим:
- ( t_1 ) — время, необходимое для наполнения бассейна первой трубой (в часах),
- ( t_2 ) — время, необходимое для слива воды второй трубой (в часах).
Согласно условию задачи мы знаем, что на слив воды требуется на 9 часов больше, чем на наполнение:
[ t_2 = t_1 + 9. ]
Также, если открыть обе трубы одновременно, бассейн наполняется за 4 часа. Мы можем выразить скорость наполнения и слива через ( t_1 ) и ( t_2 ):
- Скорость наполнения первой трубы: ( \frac{1}{t_1} ) бассейна в час.
- Скорость слива второй трубы: ( \frac{1}{t_2} ) бассейна в час.
Когда обе трубы открыты, их совместная скорость составит:
[
\frac{1}{t_1} - \frac{1}{t_2} = \frac{1}{4}.
]
Теперь подставим ( t_2 ):
[
\frac{1}{t_1} - \frac{1}{t_1 + 9} = \frac{1}{4}.
]
Чтобы решить это уравнение, избавим дроби. Умножим обе стороны на ( 4t_1(t_1 + 9) ):
[
4(t_1 + 9) - 4t_1 = t_1(t_1 + 9).
]
Это упрощается до:
[
36 = t_1^2 + 9t_1.
]
Преобразуем уравнение:
[
t_1^2 + 9t_1 - 36 = 0.
]
Теперь используем формулу для решения квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):
[
t_1 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
]
В нашем уравнении ( a = 1 ), ( b = 9 ), ( c = -36 ):
[
t_1 = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36)}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 144}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{-9 \pm 15}{2}.
]
Решения:
- ( t_1 = \frac{6}{2} = 3 ) (принимаем, так как время не может быть отрицательным),
- ( t_1 = \frac{-24}{2} = -12 ) (отклоняем, так как время не может быть отрицательным).
Таким образом, ( t_1 = 3 ) часа.
Теперь запомним, что ( t_2 = t_1 + 9 ):
[
t_2 = 3 + 9 = 12 \text{ часов}.
]
Ответ: бассейн можно наполнить через первую трубу за 3 часа.
