Для решения этой задачи мы будем использовать комбинаторику, в частности, формулы для выбора (комбинации). Давайте разберемся, как это сделать шаг за шагом.
Шаг 1: Определение количества мальчиков и девочек
У нас есть 8 мальчиков и 15 девочек.
Шаг 2: Выбор мальчиков
Нам нужно выбрать 2 мальчика из 8. Для этого мы используем формулу для сочетаний:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где ( n ) — общее количество элементов, а ( k ) — количество тех, которые мы хотим выбрать. В нашем случае ( n = 8 ) и ( k = 2 ):
[
C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!}
]
Шаг 3: Упрощение выражения
Мы можем упростить расчет, заметив, что ( 8! = 8 \times 7 \times 6! ). Таким образом:
[
C(8, 2) = \frac{8 \times 7 \times 6!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \times 7}{2!}
]
Теперь вычисляем ( 2! = 2 ):
[
C(8, 2) = \frac{8 \times 7}{2} = \frac{56}{2} = 28
]
Шаг 4: Выбор девочек
Теперь мы выбираем 3 девочки из 15, также используя формулу сочетаний:
[
C(15, 3) = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3! \cdot 12!}
]
Шаг 5: Упрощение выражения для девочек
Аналогично, ( 15! = 15 \times 14 \times 13 \times 12! ):
[
C(15, 3) = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12!}{3! \cdot 12!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3!}
]
Вычислим ( 3! = 6 ):
[
C(15, 3) = \frac{15 \times 14 \times 13}{6} = \frac{2730}{6} = 455
]
Шаг 6: Общее количество способов
Теперь, чтобы найти общее количество способов выбрать 2 мальчика и 3 девочки, мы перемножаем количество способов выбрать мальчиков и девочек:
[
\text{Общее количество способов} = C(8, 2) \times C(15, 3) = 28 \times 455
]
Шаг 7: Вычисление
Теперь произведем это умножение:
[
28 \times 455 = 12740
]
Ответ
Таким образом, всего существует 12740 способов выбрать 2 мальчика и 3 девочки для выполнения шефской работы.
