В классе 8 мальчиков и 15 девочек. Для выполнения шефской работы нужно выбрать 2 мальчика и 3 девочки. Сколькими способами это можно сделать?

Для решения этой задачи мы будем использовать комбинаторику, в частности, формулы для выбора (комбинации). Давайте разберемся, как это сделать шаг за шагом.

Шаг 1: Определение количества мальчиков и девочек

У нас есть 8 мальчиков и 15 девочек.

Шаг 2: Выбор мальчиков

Нам нужно выбрать 2 мальчика из 8. Для этого мы используем формулу для сочетаний: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где \( n \) — общее количество элементов, а \( k \) — количество тех, которые мы хотим выбрать. В нашем случае \( n = 8 \) и \( k = 2 \):

\[ C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} \]

Шаг 3: Упрощение выражения

Мы можем упростить расчет, заметив, что \( 8! = 8 \times 7 \times 6! \). Таким образом:

\[ C(8, 2) = \frac{8 \times 7 \times 6!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \times 7}{2!} \]

Теперь вычисляем \( 2! = 2 \):

\[ C(8, 2) = \frac{8 \times 7}{2} = \frac{56}{2} = 28 \]

Шаг 4: Выбор девочек

Теперь мы выбираем 3 девочки из 15, также используя формулу сочетаний:

\[ C(15, 3) = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3! \cdot 12!} \]

Шаг 5: Упрощение выражения для девочек

Аналогично, \( 15! = 15 \times 14 \times 13 \times 12! \):

\[ C(15, 3) = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12!}{3! \cdot 12!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3!} \]

Вычислим \( 3! = 6 \):

\[ C(15, 3) = \frac{15 \times 14 \times 13}{6} = \frac{2730}{6} = 455 \]

Шаг 6: Общее количество способов

Теперь, чтобы найти общее количество способов выбрать 2 мальчика и 3 девочки, мы перемножаем количество способов выбрать мальчиков и девочек:

\[ \text{Общее количество способов} = C(8, 2) \times C(15, 3) = 28 \times 455 \]

Шаг 7: Вычисление

Теперь произведем это умножение:

\[ 28 \times 455 = 12740 \]

Ответ

Таким образом, всего существует 12740 способов выбрать 2 мальчика и 3 девочки для выполнения шефской работы.