постройте график функции у=x²-x²/|x|

Давайте решим задачу о построении графика функции \( y = x^2 - \frac{x^2}{|x|} \).

Шаг 1: Упростим выражение

Функция включает абсолютное значение, поэтому мы можем рассмотреть два случая: когда \( x \) положительное и когда \( x \) отрицательное.

1. Для \( x > 0 \): В этом случае \( |x| = x \), и функция упрощается следующим образом: \[ y = x^2 - \frac{x^2}{x} = x^2 - x = x(x - 1) \]

2. Для \( x < 0 \): Здесь \( |x| = -x \), и функция становится: \[ y = x^2 - \frac{x^2}{-x} = x^2 + x = x(x + 1) \]

Шаг 2: Найдем значение функции при \( x = 0 \)

При \( x = 0 \) функция выглядит так: \[ y = 0^2 - \frac{0^2}{|0|} = 0 - 0 = 0 \] Таким образом, \( y(0) = 0 \).

Шаг 3: Объединим результаты

Теперь можем записать функцию в зависимости от значения \( x \): \[ y = \begin{cases} x(x - 1), & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ x(x + 1), & x < 0 \end{cases} \]

Шаг 4: Построим график функции

Для построения графика нам нужно нарисовать каждую часть функции:

1. Для \( x > 0 \) (парабола): У нас есть уравнение \( y = x(x - 1) \), которое представляет собой параболу, открывающуюся вверх, с корнями в точках \( x = 0 \) и \( x = 1 \).

2. Для \( x < 0 \) (парабола): Уравнение \( y = x(x + 1) \) также представляет собой параболу, открывающуюся вверх, с корнями в точках \( x = -1 \) и \( x = 0 \).

Шаг 5: Определим точки и основные характеристики

• При \( x = 0 \): \( y(0) = 0 \).
• При \( x = 1 \): \( y(1) = 1(1 - 1) = 0 \).
• При \( x = -1 \): \( y(-1) = -1(-1 + 1) = 0 \).

Шаг 6: Нарисуем график

1. Зная, что функция равна нулю в точках \( x = -1, 0, 1 \), можно нанести точки на координатной плоскости.
2. Парабола для \( x > 0 \) будет положительной на промежутке \( (1, +\infty) \) и начинаться с нуля.
3. Парабола для \( x < 0 \) будет также положительной для \( (-\infty, -1) \) и начинаться с нуля.

Шаг 7: Общее представление графика

График будет состоять из двух парабол, соединяющихся в точке нуля:

• Для \( x > 0 \): парабола, проходящая через (0, 0) и (1, 0) и возрастающая для \( x > 1 \).
• Для \( x < 0 \): парабола, проходящая через (-1, 0), (0, 0) и убывающая для \( x < -1 \).

Теперь, когда мы упростили функцию и поняли, как она выглядит, вы можете построить график на координатной плоскости, используя эти точки и характеристики!