Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения данной задачи мы будем использовать свойства квадратичной функции, поскольку поступления в бюджет налогов от ставки налога представляются именно такой функцией.
Этап 1: Определение функции
Пусть \( x \) — это ставка налога на продажу сапогов-скороходов в процентах. Условия задачи подсказывают, что можно выразить поступления в бюджет как квадратичную функцию:
\[ P(x) = ax^2 + bx + c \]
где \( P(x) \) — поступления в бюджет (в миллиардах фантиков), а \( a, b, c \) — некоторые коэффициенты.
Этап 2: Установка уравнений на основе данных
Из условия имеем три точки:
- При \( x = 10 \): \( P(10) = 1.3 \)
- При \( x = 27 \): \( P(27) = 1.6 \)
- При \( x = 33 \): \( P(33) = 1.3 \)
Теперь мы можем записать систему уравнений:
- \( 100a + 10b + c = 1.3 \) (из \( P(10) \))
- \( 729a + 27b + c = 1.6 \) (из \( P(27) \))
- \( 1089a + 33b + c = 1.3 \) (из \( P(33) \))
Этап 3: Выражение системы
Теперь мы можем вычесть первое уравнение из второго и третьего, чтобы избавиться от \( c \).
Второе уравнение - Первое: \[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \quad (1) \]
Третье уравнение - Первое: \[ (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 1.3 - 1.3 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad (2) \]
Этап 4: Решение системы
Теперь у нас есть две линейные зависимости:
- \( 629a + 17b = 0.3 \)
- \( 989a + 23b = 0 \)
Теперь выразим \( b \) из второго уравнения: \[ b = -\frac{989a}{23} \quad (3) \]
Подставим (3) в (1): \[ 629a + 17\left(-\frac{989a}{23}\right) = 0.3 \] Умножим всё на 23 для удобства: \[ 629 \cdot 23a - 17 \cdot 989a = 6.9 \] Посчитаем: \[ 14467a - 16813a = 6.9 \] \[ -2336a = 6.9 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{6.9}{2336} \approx -0.002953 \]
Теперь подставим \( a \) в (3) для нахождения \( b \): \[ b = -\frac{989 \cdot \left(-\frac{6.9}{2336}\right)}{23} \approx 0.1965 \]
Этап 5: Нахождение \( c \)
Теперь подставим \( a \) и \( b \) в любое из уравнений для нахождения \( c \): \[ 100(-0.002953) + 10(0.1965) + c = 1.3 \] \[ -0.2953 + 1.965 + c = 1.3 \] \[ c = 1.3 - 1.6697 \approx 0.6303 \]
Этап 6: Форма функции
Итак, мы нашли параметры: \[ P(x) = -0.002953x^2 + 0.1965x + 0.6303 \]
Этап 7: Нахождение максимума функции
Коэффициент \( a < 0 \), следовательно, график параболы открывается вниз. Максимум находится в вершине параболы по формуле:
\[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.1965}{2 \cdot (-0.002953)} \approx 33.29 \]
Ответ
Таким образом, максимальная ставка налога на продажи сапогов-скороходов, которая максимизирует доходы в бюджет Тридевятого царства, составляет примерно 33.3%.
