Дан треугольник АВС с прямым углом С. АС = 6 см, ВС = 10 см. Найдите sin A, sin B, cos A, cos B, tg A, tg B.

Для решения данной задачи начнём с того, что в треугольнике АВС с прямым углом в точке С мы можем использовать основные тригонометрические функции. Для этого нам нужно знать стороны треугольника и их соотношения. 1. **Определяем длину гипотенузы AB.** Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника справедливо: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим известные значения: \[ AB^2 = 6^2 + 10^2 = 36 + 100 = 136 \] Поэтому, \[ AB = \sqrt{136} \approx 11.66 \text{ см} \] 2. **Находим синусы и косинусы углов A и B.** - **Угол A (∠A)**: - \( \sin A = \frac{\text{противолежащая сторона}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} = \frac{10}{\sqrt{136}} \) - \( \cos A = \frac{\text{прилежащая сторона}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{\sqrt{136}} \) - **Угол B (∠B)**: - \( \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{\sqrt{136}} \) - \( \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{10}{\sqrt{136}} \) 3. **Находим тангенсы углов A и B.** Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу: - **Для угла A**: - \( \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{10/\sqrt{136}}{6/\sqrt{136}} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \) - **Для угла B**: - \( \tan B = \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{6/\sqrt{136}}{10/\sqrt{136}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \) 4. **Итоговые результаты:** - \( \sin A = \frac{10}{\sqrt{136}} \) - \( \cos A = \frac{6}{\sqrt{136}} \) - \( \tan A = \frac{5}{3} \) - \( \sin B = \frac{6}{\sqrt{136}} \) - \( \cos B = \frac{10}{\sqrt{136}} \) - \( \tan B = \frac{3}{5} \) Теперь можно подставить значения в более привычные десятичные дроби, если это необходимо: - Сначала вычислим значения: \[ \sqrt{136} \approx 11.66 \] Таким образом, - \( \sin A \approx \frac{10}{11.66} \approx 0.857 \) - \( \cos A \approx \frac{6}{11.66} \approx 0.514 \) - \( \tan A \approx \frac{5}{3} \approx 1.67 \) - \( \sin B \approx \frac{6}{11.66} \approx 0.514 \) - \( \cos B \approx \frac{10}{11.66} \approx 0.857 \) - \( \tan B \approx \frac{3}{5} = 0.6 \) Эти результаты дают полное представление о тригонометрических функциях углов в данном прямоугольном треугольнике.