Дан треугольник АВС с прямым углом С. АС = 6 см, ВС = 10 см. Найдите sin A, sin B, cos A, cos B, tg A, tg B.

Для решения данной задачи начнём с того, что в треугольнике АВС с прямым углом в точке С мы можем использовать основные тригонометрические функции. Для этого нам нужно знать стороны треугольника и их соотношения.

1. Определяем длину гипотенузы AB.

   Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника справедливо:

   \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

   Подставим известные значения:

   \[ AB^2 = 6^2 + 10^2 = 36 + 100 = 136 \]

   Поэтому,

   \[ AB = \sqrt{136} \approx 11.66 \text{ см} \]

2. Находим синусы и косинусы углов A и B.

   • Угол A (∠A):

     • \( \sin A = \frac{\text{противолежащая сторона}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} = \frac{10}{\sqrt{136}} \)
     • \( \cos A = \frac{\text{прилежащая сторона}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{\sqrt{136}} \)

   • Угол B (∠B):

     • \( \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{\sqrt{136}} \)
     • \( \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{10}{\sqrt{136}} \)

3. Находим тангенсы углов A и B.

   Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу:

   • Для угла A:

     • \( \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{10/\sqrt{136}}{6/\sqrt{136}} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \)

   • Для угла B:

     • \( \tan B = \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{6/\sqrt{136}}{10/\sqrt{136}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \)

4. Итоговые результаты:

   • \( \sin A = \frac{10}{\sqrt{136}} \)

   • \( \cos A = \frac{6}{\sqrt{136}} \)

   • \( \tan A = \frac{5}{3} \)

   • \( \sin B = \frac{6}{\sqrt{136}} \)

   • \( \cos B = \frac{10}{\sqrt{136}} \)

   • \( \tan B = \frac{3}{5} \)

Теперь можно подставить значения в более привычные десятичные дроби, если это необходимо:

• Сначала вычислим значения:

  \[ \sqrt{136} \approx 11.66 \]

  Таким образом,

  • \( \sin A \approx \frac{10}{11.66} \approx 0.857 \)

  • \( \cos A \approx \frac{6}{11.66} \approx 0.514 \)

  • \( \tan A \approx \frac{5}{3} \approx 1.67 \)

  • \( \sin B \approx \frac{6}{11.66} \approx 0.514 \)

  • \( \cos B \approx \frac{10}{11.66} \approx 0.857 \)

  • \( \tan B \approx \frac{3}{5} = 0.6 \)

Эти результаты дают полное представление о тригонометрических функциях углов в данном прямоугольном треугольнике.