Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 16 . Найди объём пирамиды, если её высота равна 6 .

Чтобы найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, нам понадобится использовать формулу для объёма пирамиды и некоторые геометрические свойства.

Шаг 1: Напоминание о формуле объёма пирамиды

Формула для вычисления объёма \( V \) пирамиды выглядит так:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h \]

где:

• \( S \) — площадь основания пирамиды,
• \( h \) — высота пирамиды.

Шаг 2: Найдём площадь основания

В основании правильной четырёхугольной пирамиды находится квадрат, и нам известна диагональ этого квадрата. Обозначим диагональ квадрата через \( d = 16 \).

Для того чтобы найти площадь квадрата, сначала нужно определить его сторону. Связь между стороной квадрата \( a \) и его диагональю \( d \) выражается следующим образом:

\[ d = a \sqrt{2} \]

Отсюда можем выразить сторону квадрата:

\[ a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2} \]

Теперь найдём площадь основания \( S \):

\[ S = a^2 = (8\sqrt{2})^2 = 64 \cdot 2 = 128 \]

Шаг 3: Подставим данные в формулу для объёма

Теперь у нас есть площадь основания \( S = 128 \) и высота \( h = 6 \). Подставим эти значения в формулу объёма:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 128 \cdot 6 \]

Шаг 4: Вычислим объём

Сначала умножим \( 128 \) на \( 6 \):

\[ 128 \cdot 6 = 768 \]

Теперь подставим это значение в формулу для объёма:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 768 \]

Теперь разделим \( 768 \) на \( 3 \):

\[ V = 256 \]

Ответ

Объём пирамиды равен \( 256 \) кубических единиц.