Катер прошёл по течению реки 32 км, повернув обратно, он прошёл ещё 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 5…

Для решения задачи начнем с анализа данных и запишем известную информацию.

Дано:

• Дистанция по течению реки (вниз) = 32 км
• Дистанция против течения реки (вверх) = 24 км
• Время в пути = 4 часа
• Скорость течения реки (v_т) = 5 км/ч

Нам нужно найти собственную скорость катера (v_к).

Шаг 1: Определим скорость катера в разных направлениях.

Когда катер плывет по течению, его скорость будет равна: \[ v_{\text{по течению}} = v_k + v_t \] где \( v_k \) — собственная скорость катера, а \( v_t \) — скорость течения реки.

Когда катер плывет против течения, его скорость будет равна: \[ v_{\text{против течения}} = v_k - v_t \]

Шаг 2: Запишем время в пути.

Время — это расстояние, разделенное на скорость. Для маршрута по течению: \[ t_{\text{по течению}} = \frac{32}{v_k + 5} \]

Для маршрута против течения: \[ t_{\text{против течения}} = \frac{24}{v_k - 5} \]

Шаг 3: Запишем общее время в пути.

Суммарное время, потраченное на всю поездку, равно 4 часам: \[ \frac{32}{v_k + 5} + \frac{24}{v_k - 5} = 4 \]

Шаг 4: Умножим уравнение на общий знаменатель.

Общий знаменатель здесь будет \((v_k + 5)(v_k - 5)\): \[ 32(v_k - 5) + 24(v_k + 5) = 4(v_k + 5)(v_k - 5) \]

Шаг 5: Раскроем скобки и упростим.

\[ 32v_k - 160 + 24v_k + 120 = 4(v_k^2 - 25) \] \[ 56v_k - 40 = 4v_k^2 - 100 \]

Шаг 6: Переносим все в одну сторону.

\[ 4v_k^2 - 56v_k - 60 = 0 \]

Шаг 7: Упростим уравнение.

Разделим на 4: \[ v_k^2 - 14v_k - 15 = 0 \]

Шаг 8: Решим квадратное уравнение.

Используем формулу корней квадратного уравнения: \[ v_k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1, b = -14, c = -15 \).

Сначала вычислим дискриминант: \[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 \]

Теперь находим корни: \[ v_k = \frac{14 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{14 \pm 16}{2} \]

Таким образом, нам дадут два решения:

1. \( v_k = \frac{30}{2} = 15 \)
2. \( v_k = \frac{-2}{2} = -1 \) (отрицательное значение не имеет физического смысла, его не учитываем).

Окончательный ответ

Собственная скорость катера: \[ v_k = 15 \text{ км/ч} \]

Таким образом, собственная скорость катера составляет 15 км/ч.