Для решения задачи начнем с анализа данных и запишем известную информацию.
Дано:
- Дистанция по течению реки (вниз) = 32 км
- Дистанция против течения реки (вверх) = 24 км
- Время в пути = 4 часа
- Скорость течения реки (v_т) = 5 км/ч
Нам нужно найти собственную скорость катера (v_к).
Шаг 1: Определим скорость катера в разных направлениях.
Когда катер плывет по течению, его скорость будет равна:
[ v_{\text{по течению}} = v_k + v_t ]
где ( v_k ) — собственная скорость катера, а ( v_t ) — скорость течения реки.
Когда катер плывет против течения, его скорость будет равна:
[ v_{\text{против течения}} = v_k - v_t ]
Шаг 2: Запишем время в пути.
Время — это расстояние, разделенное на скорость.
Для маршрута по течению:
[ t_{\text{по течению}} = \frac{32}{v_k + 5} ]
Для маршрута против течения:
[ t_{\text{против течения}} = \frac{24}{v_k - 5} ]
Шаг 3: Запишем общее время в пути.
Суммарное время, потраченное на всю поездку, равно 4 часам:
[ \frac{32}{v_k + 5} + \frac{24}{v_k - 5} = 4 ]
Шаг 4: Умножим уравнение на общий знаменатель.
Общий знаменатель здесь будет ((v_k + 5)(v_k - 5)):
[ 32(v_k - 5) + 24(v_k + 5) = 4(v_k + 5)(v_k - 5) ]
Шаг 5: Раскроем скобки и упростим.
[ 32v_k - 160 + 24v_k + 120 = 4(v_k^2 - 25) ]
[ 56v_k - 40 = 4v_k^2 - 100 ]
Шаг 6: Переносим все в одну сторону.
[ 4v_k^2 - 56v_k - 60 = 0 ]
Шаг 7: Упростим уравнение.
Разделим на 4:
[ v_k^2 - 14v_k - 15 = 0 ]
Шаг 8: Решим квадратное уравнение.
Используем формулу корней квадратного уравнения:
[ v_k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
где ( a = 1, b = -14, c = -15 ).
Сначала вычислим дискриминант:
[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 ]
Теперь находим корни:
[ v_k = \frac{14 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1} ]
[ = \frac{14 \pm 16}{2} ]
Таким образом, нам дадут два решения:
- ( v_k = \frac{30}{2} = 15 )
- ( v_k = \frac{-2}{2} = -1 ) (отрицательное значение не имеет физического смысла, его не учитываем).
Окончательный ответ
Собственная скорость катера:
[ v_k = 15 \text{ км/ч} ]
Таким образом, собственная скорость катера составляет 15 км/ч.
