Верно ли,что поворот Р(1;0) на угол 2П/3 означает то же самое,что и поворот на 270 градусов
Чтобы понять, верно ли, что поворот точки \( P(1;0) \) на угол \( \frac{2\pi}{3} \) радиан означает то же самое, что и поворот на 270 градусов, давайте разберем оба угла и их влияние на координаты точки.
Поворот точки на угол
Поворот точки \( P(x; y) \) на угол \( \theta \) вокруг начала координат можно выполнить с помощью следующих формул: \[ x' = x \cdot \cos(\theta) - y \cdot \sin(\theta) \] \[ y' = x \cdot \sin(\theta) + y \cdot \cos(\theta) \]Поворот на угол \( \frac{2\pi}{3} \)
Угол \( \frac{2\pi}{3} \) радиан соответствует 120 градусам. Подставим \( P(1; 0) \) и угол \( \theta = \frac{2\pi}{3} \): \[ \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}, \quad \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]Теперь подставим значения в формулы: \[ x' = 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} \] \[ y' = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
После поворота точка \( P(1; 0) \) станет \( P\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \).
Поворот на 270 градусов
270 градусов соответствует углу: \[ 270^\circ = \frac{3\pi}{2} \text{ радиан} \] Подставляем значения \( P(1; 0) \) и угол \( \theta = \frac{3\pi}{2} \): \[ \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0, \quad \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 \]Применим формулы для поворота: \[ x' = 1 \cdot 0 - 0 \cdot (-1) = 0 \] \[ y' = 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = -1 \]
После поворота на 270 градусов точка \( P(1; 0) \) станет \( P(0; -1) \).
Сравнение результатов
- Поворот на \( \frac{2\pi}{3} \) радиан изменяет координаты точки на \( P\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \).
- Поворот на 270 градусов приводит к новому положению \( P(0; -1) \).
Вывод:
Поворот точки \( P(1; 0) \) на угол \( \frac{2\pi}{3} \) радиан не соответствует повороту на 270 градусов. Это два разных поворота, приводящие к разным координатам точек.
