Давайте решим задачу с бегунами шаг за шагом.
Мы знаем следующее:
- Первый бегун (назовем его Бегун 1) и второй бегун (Бегун 2) стартовали одновременно.
- Через 1 час Бегун 1 остался на расстоянии 1 км до финиша первого круга.
- Бегун 2 завершил первый круг на 15 минут раньше, чем Бегун 1.
- Скорость Бегуна 1 на 5 км/ч меньше, чем скорость Бегуна 2.
Обозначим скорость Бегуна 2 как ( v_2 ) км/ч. Тогда скорость Бегуна 1, соответственно, будет ( v_1 = v_2 - 5 ) км/ч.
Теперь найдём, сколько времени и на каком расстоянии находился каждый бегун через час.
Шаг 1: Найдем расстояние, которое пробежал каждый бегун.
Бегун 1 пробежал ( 1 \text{ км} ) меньше полного круга через 1 час. Значит, он пробежал ( L - 1 \text{ км} ) (где ( L ) — длина круга).
Для Бегуна 2:
- Он пробежал полный круг (т.е. расстояние ( L )) за 45 минут (так как 15 минут назад он закончил круг, а общее время, поскольку Бегун 1 всё ещё бежит и ему осталось 1 км, составляет 1 час или 60 минут).
Шаг 2: Переведем время Бегуна 2 в часы.
45 минут составляют ( \frac{45}{60} = 0.75 ) часа.
Шаг 3: Определим скорость Бегуна 2.
Скорость Бегуна 2:
[
v_2 = \frac{L}{0.75} = \frac{4L}{3} \text{ км/ч}.
]
Шаг 4: Определим скорость Бегуна 1 и его пройденный путь.
Скорость Бегуна 1:
[
v_1 = v_2 - 5 = \frac{4L}{3} - 5.
]
Теперь определим, сколько Бегун 1 успел пробежать за 1 час:
[
v_1 = \frac{L - 1}{1} = L - 1.
]
Шаг 5: Составим уравнение.
У нас есть два выражения для скорости Бегуна 1:
- ( v_1 = L - 1 ),
- ( v_1 = \frac{4L}{3} - 5 ).
Сравним их:
[
L - 1 = \frac{4L}{3} - 5.
]
Шаг 6: Упростим уравнение.
Приведём уравнение к общему знаменателю:
[
3L - 3 = 4L - 15.
]
Теперь перенесем все термины, содержащие ( L ), на одну сторону:
[
3L - 4L = -15 + 3,
]
[
-L = -12,
]
[
L = 12 \text{ км}.
]
Шаг 7: Найдем скорости обоих бегунов.
Теперь подставим ( L ) обратно, чтобы найти скорости:
Для Бегуна 2:
[
v_2 = \frac{4L}{3} = \frac{4 \cdot 12}{3} = 16 \text{ км/ч}.
]
Для Бегуна 1:
[
v_1 = v_2 - 5 = 16 - 5 = 11 \text{ км/ч}.
]
Ответ:
Скорость первого бегуна составляет 11 км/ч.
