Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км…
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 15 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 5 км/ч меньше скорости второго.
Давайте решим задачу с бегунами шаг за шагом.
Мы знаем следующее:
- Первый бегун (назовем его Бегун 1) и второй бегун (Бегун 2) стартовали одновременно.
- Через 1 час Бегун 1 остался на расстоянии 1 км до финиша первого круга.
- Бегун 2 завершил первый круг на 15 минут раньше, чем Бегун 1.
- Скорость Бегуна 1 на 5 км/ч меньше, чем скорость Бегуна 2.
Обозначим скорость Бегуна 2 как \( v_2 \) км/ч. Тогда скорость Бегуна 1, соответственно, будет \( v_1 = v_2 - 5 \) км/ч.
Теперь найдём, сколько времени и на каком расстоянии находился каждый бегун через час.
Шаг 1: Найдем расстояние, которое пробежал каждый бегун.
Бегун 1 пробежал \( 1 \text{ км} \) меньше полного круга через 1 час. Значит, он пробежал \( L - 1 \text{ км} \) (где \( L \) — длина круга).
Для Бегуна 2:
- Он пробежал полный круг (т.е. расстояние \( L \)) за 45 минут (так как 15 минут назад он закончил круг, а общее время, поскольку Бегун 1 всё ещё бежит и ему осталось 1 км, составляет 1 час или 60 минут).
Шаг 2: Переведем время Бегуна 2 в часы.
45 минут составляют \( \frac{45}{60} = 0.75 \) часа.
Шаг 3: Определим скорость Бегуна 2.
Скорость Бегуна 2: \[ v_2 = \frac{L}{0.75} = \frac{4L}{3} \text{ км/ч}. \]
Шаг 4: Определим скорость Бегуна 1 и его пройденный путь.
Скорость Бегуна 1: \[ v_1 = v_2 - 5 = \frac{4L}{3} - 5. \]
Теперь определим, сколько Бегун 1 успел пробежать за 1 час: \[ v_1 = \frac{L - 1}{1} = L - 1. \]
Шаг 5: Составим уравнение.
У нас есть два выражения для скорости Бегуна 1:
- \( v_1 = L - 1 \),
- \( v_1 = \frac{4L}{3} - 5 \).
Сравним их: \[ L - 1 = \frac{4L}{3} - 5. \]
Шаг 6: Упростим уравнение.
Приведём уравнение к общему знаменателю: \[ 3L - 3 = 4L - 15. \] Теперь перенесем все термины, содержащие \( L \), на одну сторону: \[ 3L - 4L = -15 + 3, \] \[ -L = -12, \] \[ L = 12 \text{ км}. \]
Шаг 7: Найдем скорости обоих бегунов.
Теперь подставим \( L \) обратно, чтобы найти скорости: Для Бегуна 2: \[ v_2 = \frac{4L}{3} = \frac{4 \cdot 12}{3} = 16 \text{ км/ч}. \]
Для Бегуна 1: \[ v_1 = v_2 - 5 = 16 - 5 = 11 \text{ км/ч}. \]
Ответ:
Скорость первого бегуна составляет 11 км/ч.
