Реши примеры

Давайте подробно разберем каждый из примеров. ### Пример a) \[ y = \left| \frac{x}{2} - \sin \frac{\pi x}{2} \right| \] Чтобы понять, как решать и анализировать функцию, рассмотрим основные составляющие выражения: 1. **Модуль**: \(|\cdot|\) означает, что мы интересуемся только положительными значениями вычитания \(\frac{x}{2}\) и \(\sin \frac{\pi x}{2}\). 2. **Функции внутри модуля**: - \(\frac{x}{2}\) — это линейная функция. - \(\sin \frac{\pi x}{2}\) — это тригонометрическая функция, периодическая с периодом \(2\). Для нахождения пересечений \(\frac{x}{2}\) и \(\sin \frac{\pi x}{2}\), решите уравнение: \[ \frac{x}{2} = \sin \frac{\pi x}{2} \] Это уравнение можно решать графически или численно, так как аналитическое решение может быть сложным. ### Пример б) \[ y = \frac{e^{x+1}}{x-1}, \, x > 1 \] В данном выражении: - **Экспонента** \(e^{x+1}\) всегда положительна. - Функция \(\frac{1}{x-1}\) имеет разрыв при \(x = 1\). **Область определения**: \(x > 1\). При этом необходимо следить за поведением функции при \(x\), приближающемся к 1 справа, где происходит асимптотический взлет \(y\) вверх. ### Пример в) \[ y = \sqrt{\cos^2 x + 6} + \sqrt{\ln x}, \, x > 1 \] Анализируем отдельно каждый радикал: 1. \(\sqrt{\cos^2 x + 6}\): - \(\cos^2 x\) принимает значения от 0 до 1. - Следовательно, \(\cos^2 x + 6\) всегда \(\geq 6\), и сам корень всегда существует и определен. 2. \(\sqrt{\ln x}\): - Логарифм \(\ln x\) определен и положителен для \(x > 1\). Изначально \(x > 1\) из условий, и это ограничение помогает исключить отрицательные значения внутри \(\ln\). ### Пример г) \[ y = 3\log_{2} \left( \frac{1}{x-1} \right) + \frac{1}{x}, \, x > 1 \] Здесь: 1. **Логарифм**: \(3\log_{2} \left( \frac{1}{x-1} \right)\). - \(\frac{1}{x-1}\) будет положительным числом, и логарифм также определен. 2. **Область определения**: \(x > 1\), чтобы не было деления на ноль. Обратим внимание, что \(\log_{2}\) отрицателен для значений меньше 1, что важно для \(\frac{1}{x-1}\), и она всегда положительна для \(x>1\). --- В каждом из примеров важно учитывать область определения функции и точки разрыва. Это помогает избежать математически некорректных преобразований и увидеть реальное поведение функций на интервалах.