Реши примеры

Давайте подробно разберем каждый из примеров.

Пример a)

\[ y = \left| \frac{x}{2} - \sin \frac{\pi x}{2} \right| \]

Чтобы понять, как решать и анализировать функцию, рассмотрим основные составляющие выражения:

1. Модуль: \(|\cdot|\) означает, что мы интересуемся только положительными значениями вычитания \(\frac{x}{2}\) и \(\sin \frac{\pi x}{2}\).

2. Функции внутри модуля:

   • \(\frac{x}{2}\) — это линейная функция.
   • \(\sin \frac{\pi x}{2}\) — это тригонометрическая функция, периодическая с периодом \(2\).

Для нахождения пересечений \(\frac{x}{2}\) и \(\sin \frac{\pi x}{2}\), решите уравнение:

\[ \frac{x}{2} = \sin \frac{\pi x}{2} \]

Это уравнение можно решать графически или численно, так как аналитическое решение может быть сложным.

Пример б)

\[ y = \frac{e^{x+1}}{x-1}, \, x > 1 \]

В данном выражении:

• Экспонента \(e^{x+1}\) всегда положительна.
• Функция \(\frac{1}{x-1}\) имеет разрыв при \(x = 1\).

Область определения: \(x > 1\). При этом необходимо следить за поведением функции при \(x\), приближающемся к 1 справа, где происходит асимптотический взлет \(y\) вверх.

Пример в)

\[ y = \sqrt{\cos^2 x + 6} + \sqrt{\ln x}, \, x > 1 \]

Анализируем отдельно каждый радикал:

1. \(\sqrt{\cos^2 x + 6}\):

   • \(\cos^2 x\) принимает значения от 0 до 1.
   • Следовательно, \(\cos^2 x + 6\) всегда \(\geq 6\), и сам корень всегда существует и определен.

2. \(\sqrt{\ln x}\):

   • Логарифм \(\ln x\) определен и положителен для \(x > 1\).

Изначально \(x > 1\) из условий, и это ограничение помогает исключить отрицательные значения внутри \(\ln\).

Пример г)

\[ y = 3\log_{2} \left( \frac{1}{x-1} \right) + \frac{1}{x}, \, x > 1 \]

Здесь:

1. Логарифм: \(3\log_{2} \left( \frac{1}{x-1} \right)\).

   • \(\frac{1}{x-1}\) будет положительным числом, и логарифм также определен.

2. Область определения: \(x > 1\), чтобы не было деления на ноль.

Обратим внимание, что \(\log_{2}\) отрицателен для значений меньше 1, что важно для \(\frac{1}{x-1}\), и она всегда положительна для \(x>1\).

В каждом из примеров важно учитывать область определения функции и точки разрыва. Это помогает избежать математически некорректных преобразований и увидеть реальное поведение функций на интервалах.