(1/27 *125^-1)^-1/3

Давайте решим выражение \((\frac{1}{27} \cdot 125^{-1})^{-1/3}\) шаг за шагом.

Шаг 1: Упростим выражение внутри скобок.

Начнем с \(125^{-1}\). Напомним, что \(x^{-1} = \frac{1}{x}\), следовательно:

\[ 125^{-1} = \frac{1}{125} \]

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

\[ \frac{1}{27} \cdot 125^{-1} = \frac{1}{27} \cdot \frac{1}{125} = \frac{1}{27 \cdot 125} \]

Теперь нужно найти \(27 \cdot 125\):

\[ 27 \cdot 125 = 27 \cdot (100 + 25) = 27 \cdot 100 + 27 \cdot 25 = 2700 + 675 = 3375 \]

Таким образом:

\[ \frac{1}{27} \cdot 125^{-1} = \frac{1}{3375} \]

Шаг 2: Возводим в степень \(-1/3\).

Теперь нам нужно взять выражение \(\left(\frac{1}{3375}\right)^{-1/3}\):

Сначала напомним, что \((x^{-1})^a = x^{-a}\), поэтому:

\[ \left(\frac{1}{3375}\right)^{-1/3} = (3375)^{1/3} \]

Обозначим \(x = 3375\) и найдём кубический корень \(x^{1/3} = 3375^{1/3}\).

Шаг 3: Наступает оценка кубического корня.

Рассмотрим разложение 3375 на простые множители:

\[ 3375 = 3^3 \cdot 5^3 \]

Теперь можно взять кубический корень:

\[ 3375^{1/3} = (3^3 \cdot 5^3)^{1/3} = 3^{3/3} \cdot 5^{3/3} = 3 \cdot 5 = 15 \]

Ответ:

Таким образом, итоговое значение выражения \((\frac{1}{27} \cdot 125^{-1})^{-1/3}\) равно \(15\).