Давайте решим выражение ((\frac{1}{27} \cdot 125^{-1})^{-1/3}) шаг за шагом.
Шаг 1: Упростим выражение внутри скобок.
Начнем с (125^{-1}). Напомним, что (x^{-1} = \frac{1}{x}), следовательно:
[
125^{-1} = \frac{1}{125}
]
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
[
\frac{1}{27} \cdot 125^{-1} = \frac{1}{27} \cdot \frac{1}{125} = \frac{1}{27 \cdot 125}
]
Теперь нужно найти (27 \cdot 125):
[
27 \cdot 125 = 27 \cdot (100 + 25) = 27 \cdot 100 + 27 \cdot 25 = 2700 + 675 = 3375
]
Таким образом:
[
\frac{1}{27} \cdot 125^{-1} = \frac{1}{3375}
]
Шаг 2: Возводим в степень (-1/3).
Теперь нам нужно взять выражение (\left(\frac{1}{3375}\right)^{-1/3}):
Сначала напомним, что ((x^{-1})^a = x^{-a}), поэтому:
[
\left(\frac{1}{3375}\right)^{-1/3} = (3375)^{1/3}
]
Обозначим (x = 3375) и найдём кубический корень (x^{1/3} = 3375^{1/3}).
Шаг 3: Наступает оценка кубического корня.
Рассмотрим разложение 3375 на простые множители:
[
3375 = 3^3 \cdot 5^3
]
Теперь можно взять кубический корень:
[
3375^{1/3} = (3^3 \cdot 5^3)^{1/3} = 3^{3/3} \cdot 5^{3/3} = 3 \cdot 5 = 15
]
Ответ:
Таким образом, итоговое значение выражения ((\frac{1}{27} \cdot 125^{-1})^{-1/3}) равно (15).
