Какие цифры нужно поставить вместо «*» в пятизначном числе 777**, чтобы получившееся число делилось на 45? В ответ запишите сумму всех возможных двузначных чисел, образованных…

Чтобы число 777** делилось на 45, оно должно делиться как на 5, так и на 9.

1. Делимость на 5: Для делимости на 5 последняя цифра числа должна быть 0 или 5. Следовательно, возможные значения для последней цифры (обозначим ее как a) могут быть:

   • a = 0
   • a = 5

2. Делимость на 9: Для делимости на 9 сумма всех цифр числа должна быть кратна 9. Сначала найдём сумму известных цифр: \[ 7 + 7 + 7 + * + * = 21 + * + * \] Обозначим две пропущенные цифры как b и c. Тогда сумма цифр равна: \[ 21 + b + c \] Эта сумма должна быть кратна 9. Проверим каждое из возможных значений a.

   • Если a = 0: Тогда: \[ 21 + b + 0 = 21 + b \] Чтобы 21 + b было кратно 9, b может быть: 6 (так как 21 + 6 = 27, кратно 9). Значит, b = 6. Следовательно, c может быть числом от 0 до 9 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), итого 10 вариантов, из которых c = 6 уже учтено. Остались 9 вариантов для c.

     Проверим:

     • Возможные пары (b, c): (6, 0), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 7), (6, 8), (6, 9).

   • Если a = 5: Тогда: \[ 21 + b + 5 = 26 + b \] Чтобы 26 + b было кратно 9, b может быть: 1 (так как 26 + 1 = 27, кратно 9). Следовательно, b = 1. Значит, c может быть числом от 0 до 9, также 10 вариантов, из которых c = 1 уже учтено. Остались 9 вариантов для c.

     Проверим:

     • Возможные пары (b, c): (1, 0), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (1, 9).

Теперь подведем итог:

• Для a = 0: b = 6, c может быть 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 (всего 9 двухзначных чисел: 60, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69)
• Для a = 5: b = 1, c может быть 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (всего 9 двухзначных чисел: 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19)

Теперь найдем сумму:

• Сумма чисел для a = 0: \[ 60 + 61 + 62 + 63 + 64 + 65 + 67 + 68 + 69 = 615 \]

• Сумма чисел для a = 5: \[ 10 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 = 144 \]

Теперь соединим обе суммы: \[ 615 + 144 = 759 \]

Таким образом, ответ: \[ \boxed{759} \]