Какие цифры нужно поставить вместо «*» в пятизначном числе 777**, чтобы получившееся число делилось на 45? В ответ запишите сумму всех возможных двузначных чисел, образованных пропущенными цифрами в данном числе.
Чтобы число 777** делилось на 45, оно должно делиться как на 5, так и на 9.
1. **Делимость на 5**:
Для делимости на 5 последняя цифра числа должна быть 0 или 5. Следовательно, возможные значения для последней цифры (обозначим ее как a) могут быть:
- a = 0
- a = 5
2. **Делимость на 9**:
Для делимости на 9 сумма всех цифр числа должна быть кратна 9. Сначала найдём сумму известных цифр:
\[
7 + 7 + 7 + * + * = 21 + * + *
\]
Обозначим две пропущенные цифры как b и c. Тогда сумма цифр равна:
\[
21 + b + c
\]
Эта сумма должна быть кратна 9. Проверим каждое из возможных значений a.
- **Если a = 0**:
Тогда:
\[
21 + b + 0 = 21 + b
\]
Чтобы 21 + b было кратно 9, b может быть: 6 (так как 21 + 6 = 27, кратно 9). Значит, b = 6. Следовательно, c может быть числом от 0 до 9 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), итого 10 вариантов, из которых c = 6 уже учтено. Остались 9 вариантов для c.
Проверим:
- Возможные пары (b, c): (6, 0), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 7), (6, 8), (6, 9).
- **Если a = 5**:
Тогда:
\[
21 + b + 5 = 26 + b
\]
Чтобы 26 + b было кратно 9, b может быть: 1 (так как 26 + 1 = 27, кратно 9). Следовательно, b = 1. Значит, c может быть числом от 0 до 9, также 10 вариантов, из которых c = 1 уже учтено. Остались 9 вариантов для c.
Проверим:
- Возможные пары (b, c): (1, 0), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (1, 9).
Теперь подведем итог:
- Для a = 0: b = 6, c может быть 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 (всего 9 двухзначных чисел: 60, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69)
- Для a = 5: b = 1, c может быть 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (всего 9 двухзначных чисел: 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19)
Теперь найдем сумму:
- Сумма чисел для a = 0:
\[
60 + 61 + 62 + 63 + 64 + 65 + 67 + 68 + 69 = 615
\]
- Сумма чисел для a = 5:
\[
10 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 = 144
\]
Теперь соединим обе суммы:
\[
615 + 144 = 759
\]
Таким образом, ответ:
\[
\boxed{759}
\]
