5. Найдите все значения х, при которых значения выражений ми членами арифметической прогрессии. 8x^3+3;3x + 2; 9 - 10х^2 являются тремя последовательны-

Чтобы решить эту задачу, необходимо найти все значения \( x \), при которых три заданных выражения образуют арифметическую прогрессию (АП). Напомним, что три числа \( a \), \( b \) и \( c \) являются членами АП, если выполняется условие: \[ 2b = a + c \] Здесь наши члены прогрессии: - \( a = 8x^3 + 3 \) - \( b = 3x + 2 \) - \( c = 9 - 10x^2 \) Теперь давайте подставим эти выражения в условие для АП: \[ 2(3x + 2) = (8x^3 + 3) + (9 - 10x^2) \] Решим это уравнение шаг за шагом: 1. Упростим левую часть уравнения: \[ 2(3x + 2) = 6x + 4 \] 2. Упростим правую часть: \[ (8x^3 + 3) + (9 - 10x^2) = 8x^3 - 10x^2 + 3 + 9 \] \[ = 8x^3 - 10x^2 + 12 \] 3. Теперь у нас есть следующее уравнение: \[ 6x + 4 = 8x^3 - 10x^2 + 12 \] 4. Переносим все члены на одну сторону, чтобы привести уравнение к стандартному виду: \[ 0 = 8x^3 - 10x^2 - 6x + 12 - 4 \] \[ 0 = 8x^3 - 10x^2 - 6x + 8 \] 5. Упростим уравнение: \[ 8x^3 - 10x^2 - 6x + 8 = 0 \] Теперь, чтобы найти корни этого кубического уравнения, можно воспользоваться различными методами, например, методом подбора, деления или воспользоваться теорией вероятных рациональных корней. ### Поиск корней: Попробуем подставить некоторые значения \( x \): - При \( x = 1 \): \[ 8(1)^3 - 10(1)^2 - 6(1) + 8 = 8 - 10 - 6 + 8 = 0 \] \( x = 1 \) - корень! Теперь мы можем разделить полином \( 8x^3 - 10x^2 - 6x + 8 \) на \( (x - 1) \) с помощью деления многочленов. ### Деление многочленов: При делении \( 8x^3 - 10x^2 - 6x + 8 \) на \( x - 1 \), получаем: 1. Первое деление: - \( 8x^2 \) - Умножаем: \( 8x^2 \cdot (x - 1) = 8x^3 - 8x^2 \) - Вычитаем: \( (-10x^2 + 8x^2) = -2x^2 \) 2. Второе деление: - \( -2x \) - Умножаем: \( -2x \cdot (x - 1) = -2x^2 + 2x \) - Вычитаем: \( (-6x + 2x) = -4x \) 3. Третье деление: - \( -4 \) - Умножаем: \( -4 \cdot (x - 1) = -4x + 4 \) - Вычитаем: \( (8 - 4) = 4 \) В итоге мы получаем: \[ 8x^3 - 10x^2 - 6x + 8 = (x - 1)(8x^2 - 2x - 4) \] ### Решение квадратного уравнения: Теперь решим квадратное уравнение \( 8x^2 - 2x - 4 = 0 \) с помощью формулы дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-4) = 4 + 128 = 132 \] Теперь найдем корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{132}}{2 \cdot 8} = \frac{2 \pm 2\sqrt{33}}{16} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8} \] ### Итог: Таким образом, все значения \( x \), для которых три выражения являются членами арифметической прогрессии: \[ x = 1, \quad x = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}, \quad x = \frac{1 - \sqrt{33}}{8} \]