3.193. решите неравенство, используя метод интервалов б) x(2x - 11)(3x + 6)(x - 5) > 0;

Чтобы решить неравенство \( x(2x - 11)(3x + 6)(x - 5) > 0 \) с использованием метода интервалов, давайте следовать пошагово.

Шаг 1: Найдите корни (нули) левой части неравенства

Для этого приравняем каждое множитель к нулю:

1. \( x = 0 \)
2. \( 2x - 11 = 0 \) \(\Rightarrow x = \frac{11}{2} = 5.5\)
3. \( 3x + 6 = 0 \) \(\Rightarrow x = -2\)
4. \( x - 5 = 0 \) \(\Rightarrow x = 5\)

Теперь у нас есть нули: \( x = 0, -2, 5, 5.5 \).

Шаг 2: Разделите числовую ось на интервалы

Эти корни делят числовую ось на 5 интервалов:

1. \( (-\infty, -2) \)
2. \( (-2, 0) \)
3. \( (0, 5) \)
4. \( (5, 5.5) \)
5. \( (5.5, +\infty) \)

Шаг 3: Выберите тестовые значения для каждого интервала

Теперь выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим его в неравенство:

1. Для интервала \( (-\infty, -2) \): выберем \( x = -3 \): \[ -3(2(-3) - 11)(3(-3) + 6)(-3 - 5) \Rightarrow -3(-6 - 11)(-9 + 6)(-8) = -3(-17)(-3)(-8) > 0 \quad \text{(ложное)} \]

2. Для интервала \( (-2, 0) \): выберем \( x = -1 \): \[ -1(2(-1) - 11)(3(-1) + 6)(-1 - 5) \Rightarrow -1(-2 - 11)(-3 + 6)(-6) = -1(-13)(3)(-6) > 0 \quad \text{(истинное)} \]

3. Для интервала \( (0, 5) \): выберем \( x = 1 \): \[ 1(2(1) - 11)(3(1) + 6)(1 - 5) \Rightarrow 1(2 - 11)(3 + 6)(-4) = 1(-9)(9)(-4) > 0 \quad \text{(истинное)} \]

4. Для интервала \( (5, 5.5) \): выберем \( x = 5.1 \): \[ 5.1(2(5.1) - 11)(3(5.1) + 6)(5.1 - 5) \Rightarrow 5.1(10.2 - 11)(15.3 + 6)(0.1) > 0 \] \[ 5.1(-0.8)(21.3)(0.1) < 0 \quad \text{(ложное)} \]

5. Для интервала \( (5.5, +\infty) \): выберем \( x = 6 \): \[ 6(2(6) - 11)(3(6) + 6)(6 - 5) \Rightarrow 6(12 - 11)(18 + 6)(1) = 6(1)(24)(1) > 0 \quad \text{(истинное)} \]

Шаг 4: Запишите промежутки, где неравенство выполняется

Теперь подытожим, где неравенство верно:

• В интервале \( (-2, 0) \)
• В интервале \( (0, 5) \)
• В интервале \( (5.5, +\infty) \)

Шаг 5: Теперь соберем ответ

Т.к. неравенство строгое (больше нуля), мы не включаем нули в ответ: \[ x \in (-2, 0) \cup (0, 5) \cup (5.5, +\infty) \]

Это и есть окончательный ответ на неравенство \( x(2x - 11)(3x + 6)(x - 5) > 0 \).