Для решения этой задачи нам нужно проанализировать информацию о пиццах, которые пекарь испёк за неделю, и выяснить, какие утверждения могут быть правдивыми или ложными.
У нас есть следующие данные:
- Всего пицц: 80
- Пицц с грибами: 40
- Пицц с халапеньо: 30
1. Проверим утверждения по порядку:
Утверждение 1: Не может оказаться больше 30 пицц и с халапеньо, и с грибами.
Это утверждение означает, что максимум 30 пицц могут содержать и грибами, и халапеньо одновременно.
Чтобы прояснить это, давайте используем формулу, касающуюся объединения множеств. Если обозначить количество пицц с грибами как G и с халапеньо как H, а количества пицц с обеими начинками как GH, мы можем использовать следующую формулу:
[
|G \cup H| = |G| + |H| - |G \cap H|
]
где (|G \cup H|) — общее количество уникальных пицц с грибами или халапеньо, (|G|) и (|H|) — количество пицц с грибами и халапеньо соответственно.
Подставляем данные:
[
80 = 40 + 30 - |G \cap H|
]
[
80 = 70 - |G \cap H|
]
[
|G \cap H| = 70 - 80 = -10
]
Здесь очевидно, что количество пицц с обеими начинками (|G ∩ H|) не может быть отрицательным, значит, пробел в нашем понимании — нужно предусмотреть, что обращаемся к реалиям. Откуда следует, что:
(|G \cap H| \leq 30) — это максимальное могут быть. Утверждение верно.
Утверждение 2: Если в пицце есть грибы, то в ней обязательно есть халапеньо.
Это означает, что все пиццы с грибами также имеют халапеньо. Но из данных видно, что 40 пицц могут содержать грибы, тогда как только 30 пицц содержат халапеньо. Следовательно, есть пиццы с грибами, которым не хватает халапеньо. Утверждение ложно.
Утверждение 3: Хотя бы 40 пицц были и с грибами, и с халапеньо.
Согласно нашему расчету, хотя |G ∩ H| может достигать того числа, которое идет в противоречии с |G| и |H|, мы видим, что 40 пицц одновременно с обеими начинками — это слишком много по сравнению с 30, которые есть с халапеньо. Поэтому это утверждение также неверно.
Утверждение 4: Найдётся 10 пицц, начинка которых не содержит ни грибов, ни халапеньо.
По формуле мы знаем, что все пиццы (80) можно разложить на «только грибы», «только халапеньо», «и грибы, и халапеньо», и «без них».
Обозначим p — пиццы без начинок:
[
p = 80 - |G| - |H| + |G ∩ H|
]
Мы знаем, что:
- |G| = 40 (пиццы с грибами)
- |H| = 30 (пиццы с халапеньо)
Но |G ∩ H| может быть не больше 30, давайте предположим, что |G ∩ H| может быть 30 (максимум). Таким образом:
[
p = 80 - 40 - 30 + 30 = 40
]
Если же |G ∩ H| = 20 (уменьшаем в нашем расчете допустимое), то рассматриваем:
[
p = 80 - 40 - 30 + 20 = 30
]
"So, найдем 10 пицц, начинка которых не содержит ни грибов ни халапеньо". Утверждение можно считать верным.
Итоги:
- Утверждение 1: Верно.
- Утверждение 2: Ложно.
- Утверждение 3: Ложно.
- Утверждение 4: Верно.
Таким образом, правильные утверждения: 1 и 4.
