Ответьте на контрольные вопросы. 1. Объясните что такое цилиндр (образующая цилиндра, основания и боковая поверхность цилиндра) 2. Что такое образующая цилиндра? Что такое радиус…

Давайте разберем все аспекты, связанные с цилиндрами, и ответим на контрольные вопросы шаг за шагом.

1. Что такое цилиндр?

Цилиндр — это трехмерная фигура, которая имеет две параллельные поверхности (основания) и боковую поверхность, которая соединяет эти основания.

• Основания цилиндра — это две идентичные круговые поверхности, расположенные параллельно друг другу.
• Боковая поверхность цилиндра — это поверхность, которая «обвивает» цилиндр и соединяет края оснований.
• Образующая цилиндра — это отрезок, который соединяет две точки, находящиеся на окружностях оснований. Образующая располагается перпендикулярно к плоскостям оснований и определяет высоту цилиндра.

2. Основа цилиндра

• Образующая цилиндра — это линия, соединяющая точки на окружностях оснований. Она не меняет свою длину на протяжении всего цилиндра.
• Радиус цилиндра — это расстояние от центра окружности основания до любой точки на ее границе. Радиус одинаков для обеих оснований.
• Высота цилиндра — это расстояние между плоскостями оснований. Это длина образующей цилиндра, если она вертикальна.
• Как получается цилиндр? Цилиндр можно получить вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.

3. Задания практического занятия

Задание №1

Радиус цилиндра = 3 см, Высота = 5 см. Найдите площадь осевого сечения и площадь полной поверхности.

1. Площадь осевого сечения (S_основания): \[ S = \pi r^2 = \pi (3^2) = 9\pi \approx 28.27 \text{ см}^2 \]

2. Площадь боковой поверхности (S_бок): \[ S_бок = 2\pi rh = 2\pi (3)(5) = 30\pi \approx 94.25 \text{ см}^2 \]

3. Общая площадь поверхности (S_по всей поверхности): \[ S = S_бок + 2S_основания = 30\pi + 9\pi \times 2 = 48\pi \approx 150.80 \text{ см}^2 \]

Задание №2

Диагональ осевого сечения равна 20 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Здесь следует уточнить, под каким углом находится диагональ. Давайте представим, что это угловая диагональ, тогда для поиска площади необходима высота. Это более сложная задача.

Определяем длину образующей через Пифагора: \[ h = \sqrt{d^2 - r^2} \quad \text{где} \; d = 20, r - \text{радиус неизвестен.} \]

По этой формуле мы можем получить дополнительные данные при известном радиусе.

Задание №3

Радиус = 2 см, Высота = 3 см. Найдите диагональ осевого сечения.

Используем формулу Пифагора: \[ d = \sqrt{h^2 + (2r)^2} = \sqrt{3^2 + (2 \times 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}. \]

Задание №4

Диагональ наклонена под углом к плоскости основания. Для решения нужно знать радиус.

Задание №5

Площадь боковой поверхности = 15. Найдите площадь осевого сечения.

Учитываем, что: \[ S_бок = 2\pi rh \Rightarrow h = \frac{15}{2\pi r} \] Если есть радиус, подставляем и находим.

Задание №6

Площадь основания = 1. Найдите высоту, если \(S_{бок} = 30.\)

Радиус можно найти: \[ S_{основания} = \pi r^2 = 1 \Rightarrow r = \sqrt{\frac{1}{\pi}}. \] Затем, используя формулу: \[ S_бок = 2\pi rh \Rightarrow 30 = 2\pi \left(\sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)h \Rightarrow h = \frac{30}{2\sqrt{\pi}}. \]

Задание №7

Диагональ осевого сечения = 8 см. Найдите полную поверхность цилиндра.

Данные недостаточны для определения, необходимо знать или радиус, или высоту.

Задание №8

Цилиндрическая труба с диаметром 65 см и высотой 18 м.

Площадь боковой поверхности: \[ S_бок = 2\pi rh = \pi (0.65)(18) \cdot100 \approx 36.57 \text{ м}^2 \] \[ S_{итог} = S_бок \cdot 1.1 \text{(с учетом 10\%)} \]

Тестовое задание

1. А) высота
2. В) ось
3. Б) круг
4. А) прямоугольник
5. В) эллипс
6. В) квадрат
7. Б) образующие

Рисунки

1. Нанесите на рисунок элементы: радиус, высота, основания и образующие.
2. Сечения:
   • а) Осевое: круг.
   • б) Перпендикулярно: прямоугольник.
   • в) Параллельно: также круг.

Формулы для трехмерного цилиндра

• Площадь основания: \( S = \pi r^2 \).
• Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = 2\pi rh \).
• Полная поверхность: \( S_{пол} = S_{бок} + 2S \).

Вкратце, необходимы радиус и высота.