В арифметической прогрессии четвертый член равен 10, а двенадцатый член равен 26. Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.

Давайте разберемся с задачей шаг за шагом.

В арифметической прогрессии каждый следующий член получается путем добавления некоторого постоянного числа (называемого разностью) к предыдущему члену.

Обозначим:

• \( a \) — первый член прогрессии,
• \( d \) — разность прогрессии.

Формула для \( n \)-го члена арифметической прогрессии выглядит так:

\[ a_n = a + (n-1)d \]

У нас есть информация о четвертом и двенадцатом членах:

• Четвертый член (\( a_4 \)) равен 10: \[ a + 3d = 10 \quad (1) \]
• Двенадцатый член (\( a_{12} \)) равен 26: \[ a + 11d = 26 \quad (2) \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными (\( a \) и \( d \)). Решим эту систему.

Из уравнения (1) выразим \( a \): \[ a = 10 - 3d \quad (3) \]

Теперь подставим это значение \( a \) в уравнение (2): \[ (10 - 3d) + 11d = 26 \] Упростим это уравнение: \[ 10 - 3d + 11d = 26 \] \[ 10 + 8d = 26 \] Теперь переместим 10 на правую сторону: \[ 8d = 26 - 10 \] \[ 8d = 16 \] Теперь разделим на 8, чтобы найти \( d \): \[ d = 2 \]

Теперь, когда у нас есть значение разности \( d \), подставим его обратно в уравнение (3) для нахождения первого члена \( a \): \[ a = 10 - 3 \cdot 2 \] \[ a = 10 - 6 = 4 \]

Теперь мы знаем \( a \) и \( d \):

• \( a = 4 \)
• \( d = 2 \)

Теперь найдем сумму первых семи членов прогрессии. Сумма первых \( n \) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \] где \( a_n = a + (n-1)d \).

Для \( n = 7 \):

• Первый член \( a_1 = a = 4 \).
• Седьмой член \( a_7 = a + 6d = 4 + 6 \cdot 2 = 4 + 12 = 16 \).

Теперь подставим значения в формулу для суммы: \[ S_7 = \frac{7}{2} (4 + 16) \] \[ S_7 = \frac{7}{2} \cdot 20 \] \[ S_7 = 7 \cdot 10 = 70 \]

Таким образом, сумма первых семи членов данной арифметической прогрессии равна 70.