Для решения задачи начнем с обозначения переменных и данных, которые мы имеем.
Обозначим:
- Скорость на пути из А в В — ( v ) (км/ч).
- Расстояние между городами — 209 км.
Шаг 1: Определим время в пути из А в В
Время, затраченное на путь из А в В, можно рассчитать по формуле:
[
t_1 = \frac{S}{V} = \frac{209}{v}
]
Шаг 2: Определим время в пути обратно из В в А
На обратном пути скорость велосипедиста увеличилась на 8 км/ч, следовательно, его скорость на обратном пути будет ( v + 8 ) км/ч. Время, затраченное на обратный путь, будет:
[
t_2 = \frac{S}{V} = \frac{209}{v + 8}
]
Шаг 3: Учитываем остановку
После того как велосипедист доехал до города В, он остановился на 8 часов. Таким образом, общее время, затраченное на обратный путь, составит:
[
t_2 + 8 = \frac{209}{v + 8} + 8
]
Шаг 4: Уравнение для времени
По условию задачи, время на обратный путь и на путь из А в В должно быть равно:
[
t_1 = t_2 + 8
]
Подставим ранее найденные выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{209}{v} = \frac{209}{v + 8} + 8
]
Шаг 5: Умножим на общий знаменатель
Умножим все части уравнения на ( v(v + 8) ) (чтобы избавиться от дробей):
[
209(v + 8) = 209v + 8v(v + 8)
]
Шаг 6: Упростим уравнение
Раскроем скобки:
[
209v + 1672 = 209v + 8v^2 + 64v
]
Шаг 7: Переносим все в одну сторону
Сократим ( 209v ) с обеих сторон:
[
1672 = 8v^2 + 64v
]
Переносим все в одну сторону, получаем:
[
8v^2 + 64v - 1672 = 0
]
Шаг 8: Делим на 8
Для упрощения поделим все коэффициенты на 8:
[
v^2 + 8v - 209 = 0
]
Шаг 9: Решаем квадратное уравнение
Используем формулу решения квадратного уравнения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1 ), ( b = 8 ), и ( c = -209 ).
Вычислим дискриминант:
[
D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-209) = 64 + 836 = 900
]
Теперь подставим значения в формулу:
[
v = \frac{-8 \pm \sqrt{900}}{2 \cdot 1}
]
[
v = \frac{-8 \pm 30}{2}
]
Шаг 10: Находим корни
Первый корень:
[
v = \frac{22}{2} = 11 \quad (\text{принимаем положительное решение})
]
Второй корень:
[
v = \frac{-38}{2} = -19 \quad (\text{отбрасываем, так как скорость не может быть отрицательной})
]
Ответ
Скорость велосипедиста на пути из А в В составляет 11 км/ч.
