Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 209 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 8 км/ч.…

Для решения задачи начнем с обозначения переменных и данных, которые мы имеем.

Обозначим:

• Скорость на пути из А в В — \( v \) (км/ч).
• Расстояние между городами — 209 км.

Шаг 1: Определим время в пути из А в В

Время, затраченное на путь из А в В, можно рассчитать по формуле: \[ t_1 = \frac{S}{V} = \frac{209}{v} \]

Шаг 2: Определим время в пути обратно из В в А

На обратном пути скорость велосипедиста увеличилась на 8 км/ч, следовательно, его скорость на обратном пути будет \( v + 8 \) км/ч. Время, затраченное на обратный путь, будет: \[ t_2 = \frac{S}{V} = \frac{209}{v + 8} \]

Шаг 3: Учитываем остановку

После того как велосипедист доехал до города В, он остановился на 8 часов. Таким образом, общее время, затраченное на обратный путь, составит: \[ t_2 + 8 = \frac{209}{v + 8} + 8 \]

Шаг 4: Уравнение для времени

По условию задачи, время на обратный путь и на путь из А в В должно быть равно: \[ t_1 = t_2 + 8 \] Подставим ранее найденные выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{209}{v} = \frac{209}{v + 8} + 8 \]

Шаг 5: Умножим на общий знаменатель

Умножим все части уравнения на \( v(v + 8) \) (чтобы избавиться от дробей): \[ 209(v + 8) = 209v + 8v(v + 8) \]

Шаг 6: Упростим уравнение

Раскроем скобки: \[ 209v + 1672 = 209v + 8v^2 + 64v \]

Шаг 7: Переносим все в одну сторону

Сократим \( 209v \) с обеих сторон: \[ 1672 = 8v^2 + 64v \] Переносим все в одну сторону, получаем: \[ 8v^2 + 64v - 1672 = 0 \]

Шаг 8: Делим на 8

Для упрощения поделим все коэффициенты на 8: \[ v^2 + 8v - 209 = 0 \]

Шаг 9: Решаем квадратное уравнение

Используем формулу решения квадратного уравнения: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = 8 \), и \( c = -209 \).

Вычислим дискриминант: \[ D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-209) = 64 + 836 = 900 \]

Теперь подставим значения в формулу: \[ v = \frac{-8 \pm \sqrt{900}}{2 \cdot 1} \] \[ v = \frac{-8 \pm 30}{2} \]

Шаг 10: Находим корни

Первый корень: \[ v = \frac{22}{2} = 11 \quad (\text{принимаем положительное решение}) \] Второй корень: \[ v = \frac{-38}{2} = -19 \quad (\text{отбрасываем, так как скорость не может быть отрицательной}) \]

Ответ

Скорость велосипедиста на пути из А в В составляет 11 км/ч.