Проведено 1250 испытаний обернули 0.9 составила вероятность успешного испытания для каждого случая Оцени вероятность того что в проведенных испытаниях разница между числом успехов и средним числом составляет меньше 40 важно оценку произведите с помощью неравенства Чебышева ответ округли до сотых

Давайте решим задачу о вероятностях, используя неравенство Чебышева. ### Условия задачи У нас есть 1250 испытаний с вероятностью успеха \( p = 0.9 \). 1. **Найдём среднее число успехов (\( \mu \))**: Среднее (математическое ожидание) для биномиального распределения рассчитывается по формуле: \[ \mu = n \cdot p \] где \( n \) — общее количество испытаний, \( p \) — вероятность успеха. Подставим значения: \[ \mu = 1250 \cdot 0.9 = 1125 \] 2. **Найдём дисперсию (\( \sigma^2 \))**: Дисперсия для биномиального распределения рассчитывается по формуле: \[ \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p) \] Подставим значения: \[ \sigma^2 = 1250 \cdot 0.9 \cdot 0.1 = 125 \] Стандартное отклонение (\( \sigma \)): \[ \sigma = \sqrt{125} \approx 11.18 \] 3. **Применим неравенство Чебышева**: Неравенство Чебышева утверждает, что для любого количества \( k > 0 \) верно следующее: \[ P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} \] В нашей ситуации нам нужно оценить вероятность, что разница между числом успехов \( X \) и средним значением \( \mu \) будет меньше 40, т.е.: \[ P(|X - 1125| < 40) \] Это можно переформулировать в виде: \[ P(|X - 1125| \geq 40) \leq \frac{1}{k^2} \] Здесь \( k \) определяется так, что: \[ k\sigma = 40 \] Подставим значение стандартного отклонения (\( \sigma \approx 11.18 \)): \[ k = \frac{40}{11.18} \approx 3.58 \] 4. **Вычислим оценку вероятности**: Подставим это значение в неравенство Чебышева: \[ P(|X - 1125| \geq 40) \leq \frac{1}{(3.58)^2} \approx \frac{1}{12.8164} \approx 0.078 \] Таким образом, вероятность того, что разница между числом успехов и средним значением будет меньше 40: \[ P(|X - 1125| < 40) = 1 - P(|X - 1125| \geq 40) \geq 1 - 0.078 \approx 0.922 \] ### Ответ: Вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом составляет меньше 40, составляет примерно **0.92** (округленно до сотых).