x²+xy-y²=11 x-2y=1

Давайте решим данную систему уравнений. У нас есть два уравнения:

1. \(x^2 + xy - y^2 = 11\)
2. \(x - 2y = 1\)

Шаг 1: Изолируем переменную из второго уравнения

Начнем со второго уравнения \(x - 2y = 1\). Мы можем выразить \(x\) через \(y\):

\[ x = 2y + 1 \]

Шаг 2: Подставляем значение \(x\) в первое уравнение

Теперь подставим выражение для \(x\) в первое уравнение:

\[ (2y + 1)^2 + (2y + 1)y - y^2 = 11 \]

Теперь раскроем скобки:

1. \((2y + 1)^2 = 4y^2 + 4y + 1\)
2. \((2y + 1)y = 2y^2 + y\)

Теперь подставим раскрывшиеся выражения в уравнение:

\[ 4y^2 + 4y + 1 + 2y^2 + y - y^2 = 11 \]

Шаг 3: Объединим подобные члены

Объединим все слагаемые:

\[ (4y^2 + 2y^2 - y^2) + (4y + y) + 1 = 11 \] \[ 5y^2 + 5y + 1 = 11 \]

Теперь перенесем 11 на левую сторону уравнения:

\[ 5y^2 + 5y + 1 - 11 = 0 \] \[ 5y^2 + 5y - 10 = 0 \]

Шаг 4: Упростим квадратное уравнение

Теперь можем разделить все уравнение на 5:

\[ y^2 + y - 2 = 0 \]

Шаг 5: Решаем квадратное уравнение

Теперь находим корни квадратного уравнения. Для этого используем формулу корней:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

где \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -2\), а дискриминант \(D\) равен:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]

Теперь подставляем дискриминант в формулу:

\[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2} \]

Это дает нам два решения:

1. \(y_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1\)
2. \(y_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2\)

Шаг 6: Найдем соответствующие значения \(x\)

Теперь подставим найденные значения \(y\) обратно в выражение для \(x\).

1. Для \(y = 1\):

\[ x = 2(1) + 1 = 3 \] Таким образом первая пара \((3, 1)\).

2. Для \(y = -2\):

\[ x = 2(-2) + 1 = -3 \] Таким образом вторая пара \((-3, -2)\).

Итог

Мы нашли два решения системы уравнений:

1. \((x, y) = (3, 1)\)
2. \((x, y) = (-3, -2)\)

Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то неясно, не стесняйтесь спрашивать!