{x²+xy-y²=11 {x-2y=1
Чтобы решить систему уравнений, которая состоит из двух уравнений:
- \( x^2 + xy - y^2 = 11 \) (уравнение 1)
- \( x - 2y = 1 \) (уравнение 2)
мы сначала выразим одну переменную через другую, используя уравнение 2, а затем подставим это выражение в уравнение 1.
Шаг 1: Выразим x через y
Из уравнения 2:
\[ x - 2y = 1 \]
Добавим \(2y\) к обеим сторонам:
\[ x = 2y + 1 \]
Шаг 2: Подставим x в уравнение 1
Теперь подставим найденное значение x в уравнение 1:
\[ (2y + 1)^2 + (2y + 1)y - y^2 = 11 \]
Шаг 3: Раскроем скобки и упростим
Теперь раскроем скобки в уравнении:
\[ (2y + 1)^2 = 4y^2 + 4y + 1 \] \[ (2y + 1)y = 2y^2 + y \]
Теперь подставим эти выражения в уравнение:
\[ 4y^2 + 4y + 1 + 2y^2 + y - y^2 = 11 \]
Объединим подобные члены:
\[ 4y^2 + 2y^2 - y^2 + 4y + y + 1 = 11 \] \[ 5y^2 + 5y + 1 = 11 \]
Шаг 4: Переносим все в одну сторону
Выразим уравнение в стандартной форме:
\[ 5y^2 + 5y + 1 - 11 = 0 \] \[ 5y^2 + 5y - 10 = 0 \]
Шаг 5: Упростим уравнение
Поскольку все коэффициенты делятся на 5, упростим уравнение, разделив его на 5:
\[ y^2 + y - 2 = 0 \]
Шаг 6: Решим квадратное уравнение
Теперь мы можем решить это уравнение, используя формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Здесь \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -2\):
\[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]
Так как дискриминант положительный, у нас два разных корня. Найдём их с помощью формулы корней:
\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \] \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \]
Шаг 7: Найдем x для каждого значения y
Теперь подставим найденные значения \(y\) в уравнение \(x = 2y + 1\).
Для \(y_1 = 1\): \[ x = 2(1) + 1 = 3 \] Таким образом, первая пара решений: \((x, y) = (3, 1)\).
Для \(y_2 = -2\): \[ x = 2(-2) + 1 = -3 \] Вторая пара решений: \((x, y) = (-3, -2)\).
Шаг 8: Итоговые решения
Итак, система уравнений имеет два решения:
- \((3, 1)\)
- \((-3, -2)\)
Теперь вы знаете, как решать такие системы уравнений! Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше помощи, не стесняйтесь обращаться.
