Решите графически систему уравнений

Для решения системы уравнений графически, нам необходимо построить графики функций и найти точки их пересечения.

Задача 1: а)

Система уравнений: \[ \begin{cases} y = -\frac{1}{8}x^2 \\ y = \sqrt{x} \end{cases} \]

1. График \( y = -\frac{1}{8}x^2 \):

   • Это парабола, открытая вниз, так как коэффициент перед \(x^2\) отрицателен.
   • Вершина параболы находится в точке \( (0, 0) \).
   • Парабола симметрична относительно оси \(y\).

2. График \( y = \sqrt{x} \):

   • Это часть параболы, повернутая на 90 градусов против часовой стрелки.
   • Определена только для \( x \geq 0 \) и проходит через точку \( (0,0) \).

Поиск точек пересечения:

• Первая точка пересечения: \( (0, 0) \).
• Решим уравнение: \[ -\frac{1}{8}x^2 = \sqrt{x} \]
  • Исключив очевидное решение \(x = 0\), выражаем: \[ x^{3/2} = \frac{1}{8}x^2 \implies x = \frac{1}{8} \]
  • Подставляем \(x = \frac{1}{8}\): \[ y = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \]
  • Вторая точка пересечения: \( \left(\frac{1}{8}, \frac{1}{2\sqrt{2}}\right) \).

Таким образом, графики пересекаются в точках \((0, 0)\) и \(\left(\frac{1}{8}, \frac{1}{2\sqrt{2}}\right)\).

Задача 2: б)

Система уравнений: \[ \begin{cases} y = 0.5x^2 \\ y = |x| \end{cases} \]

1. График \( y = 0.5x^2 \):

   • Это парабола, открытая вверх, с вершиной в точке \( (0, 0) \).
   • Парабола симметрична относительно оси \(y\).

2. График \( y = |x| \):

   • Это две прямые, исходящие из начала координат под углом 45 градусов к осям: \(y = x\) для \(x \geq 0\) и \(y = -x\) для \(x < 0\).

Поиск точек пересечения:

• Первая точка пересечения: \( (0, 0) \).
• Для положительных \(x\): \[ 0.5x^2 = x \implies x(x - 2) = 0 \]
  • Получаем: \( x = 2 \).
• Для отрицательных \(x\): \[ 0.5x^2 = -x \implies x(x + 2) = 0 \]
  • Получаем: \( x = -2 \).

Таким образом, графики пересекаются в точках \((0, 0)\), \((2, 2)\) и \((-2, 2)\).