Для решения данной задачи о средней скорости автомобиля на пути, давайте разберемся с формулами и последовательностью действий.
Данные:
- Общая протяженность пути обозначим как ( S ).
- Первый участок пути составляет ( \frac{S}{3} ) и проходит со скоростью ( V_1 ).
- Остальная часть пути ( \frac{2S}{3} ) проходит со скоростью ( V_2 = 50 ) км/ч.
- Средняя скорость ( V_{ср} = 37.5 ) км/ч.
Шаг 1: Найти время на каждом участке
Для нахождения средней скорости ( V_{ср} ) используем формулу:
[
V_{ср} = \frac{S}{t_{общий}}
]
Где ( t_{общий} ) - общее время в пути.
Сначала рассчитаем время, потраченное на первый участок пути:
[
t_1 = \frac{\frac{S}{3}}{V_1}
]
Теперь рассчитаем время на втором участке пути:
[
t_2 = \frac{\frac{2S}{3}}{V_2} = \frac{\frac{2S}{3}}{50}
]
Шаг 2: Общее время в пути
Общее время в пути ( t_{общий} ) будет равно сумме времени на обоих участках:
[
t_{общий} = t_1 + t_2 = \frac{\frac{S}{3}}{V_1} + \frac{\frac{2S}{3}}{50}
]
Шаг 3: Подставим формулы в среднюю скорость
Теперь подставим выражение для ( t_{общий} ) в формулу средней скорости:
[
V_{ср} = \frac{S}{\frac{\frac{S}{3}}{V_1} + \frac{\frac{2S}{3}}{50}}
]
Шаг 4: Упростим уравнение
Упростим выражение, сократив ( S ):
[
37.5 = \frac{1}{\frac{1/3}{V_1} + \frac{2/3}{50}}
]
Умножив обе стороны на знаменатель, получаем:
[
37.5 \left( \frac{1}{3V_1} + \frac{2}{150} \right) = 1
]
Приведем к общему знаменателю:
[
37.5 \left( \frac{50 + 2V_1}{150V_1} \right) = 1
]
Шаг 5: Решаем уравнение
Теперь можно решить уравнение:
[
37.5 \cdot (50 + 2V_1) = 150V_1
]
Теперь упростим его:
[
1875 + 75V_1 = 150V_1
]
Соберем ( V_1 ) на одной стороне:
[
1875 = 150V_1 - 75V_1
]
[
1875 = 75V_1
]
Делим обе стороны на 75:
[
V_1 = \frac{1875}{75} = 25 \text{ км/ч}
]
Ответ
Скорость на первом участке пути ( V_1 ) составляет 25 км/ч.
