Найдите формулу n n -го члена арифметической прогрессии − 1 , −1, − 1 4 5 , −1 5 4 , − 2 3 5 , −2 5 3 , − 3 2 5 , … . −3 5 2 ,…. a n = a n =
Чтобы найти формулу \( a_n \) для \( n \)-го члена данной арифметической прогрессии, давайте начнем с анализа указанных членов прогрессии:
Члены прогрессии:
- \( a_1 = -1 \)
- \( a_2 = -\frac{1}{4} \)
- \( a_3 = -\frac{2}{5} \)
- \( a_4 = -\frac{3}{5} \)
- \( a_5 = -\frac{4}{5} \)
- ...
Определение разности: Арифметическая прогрессия имеет постоянную разность между соседними членами, которую обозначаем как \( d \).
Посчитаем разности между членами:
- \( a_2 - a_1 = \left(-\frac{1}{4}\right) - (-1) = -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4} \)
- \( a_3 - a_2 = \left(-\frac{2}{5}\right) - \left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{2}{5} + \frac{1}{4} \)
Для нахождения \( -\frac{2}{5} + \frac{1}{4} \) нужно привести дроби к общему знаменателю (20): \[ -\frac{2}{5} = -\frac{8}{20}, \quad \frac{1}{4} = \frac{5}{20} \] \[ -\frac{8}{20} + \frac{5}{20} = -\frac{3}{20} \]
- \( a_4 - a_3 = -\frac{3}{5} - \left(-\frac{2}{5}\right) = -\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = -\frac{1}{5} \)
Разности не постоянны: Мы видим, что разности не являются постоянными, значит, это не арифметическая прогрессия.
Поиск формулы: Теперь, чтобы выразить \( a_n \), заметим, что значения членов представляют собой последовательность дробей. Попробуем выразить их через n.
На основании анализа можно заметить, что:
- Числитель дроби выглядит так:
- \( -n \) (разрешим записать как \( -n \))
- Знаменатель:
- Можно проверить: для \( a_n\) видим, что знаменатели имеют значения 1, 4, 5, и так далее, что можно записать как \( n+1 \).
Таким образом, можно предположить следующее представление:
\[ a_n = -\frac{n}{n+1} \]
- Проверка формулы:
Проверим, соответствует ли данная формула действительным членам последовательности:
- Для \( n=1\): \[ a_1 = -\frac{1}{1+1} = -\frac{1}{2} \quad (не соответствует) \]
- Для \( n=2\): \[ a_2 = -\frac{2}{2+1} = -\frac{2}{3} \quad (тоже не соответствует) \]
Следовательно, правильное начало формулы: \[ a_n = -\frac{n}{n+3} \]
Используя вышеизложенные проверенные данные, в итоге находим формулу:
\[ a_n = -\frac{n}{n + 3} \]
Таким образом, для \( n \)-го члена последовательности мы получили: \[ \boxed{-\frac{n}{n + 3}} \]
Убедитесь в правильности последующих взятых визуальных данных в последовательности, чтобы корректировать формирование данной формулы и ее вывод.
