Укажи решение неравенства ( x − 3 ) ( 2 x + 7 ) > 0 (x−3)(2x+7)>0 . 1) ( − 3 , 5 ; 3 ) (−3,5;3) 2) ( − 3 ; 3 , 5 ) (−3;3,5) 3) ( − ∞ ; − 3 , 5 ) ∪ ( 3 ; + ∞ ) (−∞;−3,5)∪(3;+∞) 4)…

Для решения неравенства \((x−3)(2x+7) > 0\) пройдем следующие шаги:

Шаг 1: Найдем нули функции

Определим значения \(x\), при которых левая часть неравенства равна нулю. Для этого решим уравнение:

\[ (x - 3)(2x + 7) = 0 \]

Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1. \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\)
2. \(2x + 7 = 0 \Rightarrow 2x = -7 \Rightarrow x = -\frac{7}{2} = -3.5\)

Итак, нули функции: \(x = -3.5\) и \(x = 3\).

Шаг 2: Определяем интервалы

Теперь обозначим полученные нули на числовой оси и выделим интервалы:

• \( (-\infty, -3.5) \)
• \( (-3.5, 3) \)
• \( (3, +\infty) \)

Шаг 3: Проверка знака на интервалах

Теперь проверим знак произведения \((x - 3)(2x + 7)\) в каждом из найденных интервалов:

1. Интервал \((-∞, -3.5)\): Возьмем, например, \(x = -4\):

   \[ (-4 - 3)(2 \cdot -4 + 7) = (-7)(-8 + 7) = (-7)(-1) > 0 \] Знак положительный.

2. Интервал \((-3.5, 3)\): Возьмем, например, \(x = 0\):

   \[ (0 - 3)(2 \cdot 0 + 7) = (-3)(7) < 0 \] Знак отрицательный.

3. Интервал \((3, +∞)\): Возьмем, например, \(x = 4\):

   \[ (4 - 3)(2 \cdot 4 + 7) = (1)(8 + 7) = (1)(15) > 0 \] Знак положительный.

Шаг 4: Определяем, где неравенство выполняется

Неравенство \((x − 3)(2x + 7) > 0\) выполняется на интервалах, где знак положительный:

• \( (-\infty, -3.5) \)
• \( (3, +\infty) \)

Шаг 5: Записываем ответ

Таким образом, ответ можно записать в виде объединения интервалов:

\[ (-\infty, -3.5) \cup (3, +\infty) \]

Ответ

Получается, что правильный вариант из предложенных — это:

4) \((-∞;−3.5)∪(3;+∞)\)

Если вам нужны дополнительные разъяснения или помощь по другим вопросам, пожалуйста, дайте знать!