Построй график функции { 2 x 2 + 6 x + 3 , x ⩾ − 2 x + 2 , x < − 2 { 2x 2 +6x+3,x⩾−2 x+2,x<−2 и определи, при каких значениях m m прямая y = m y=m имеет с графиком ровно две общие…

Для решения задачи начнем с построения графика функции, которая представлена в виде кусочной функции:

\[ f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 6x + 3, & x \ge -2 \\ x + 2, & x < -2 \end{cases} \]

Шаг 1: Построение графика

1. Для \( x \ge -2 \): Функция \( f(x) = 2x^2 + 6x + 3 \) является квадратной.

   • Чтобы понять, как выглядит парабола, найдем её вершину и пересечения с осью \( y \).
   • Коэффициенты: \( a = 2, b = 6, c = 3 \).
   • Вершина параболы находится в точке \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 2} = -\frac{3}{2} \).
   • Найдем значение функции в этой точке: \[ f\left(-\frac{3}{2}\right) = 2\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 6\left(-\frac{3}{2}\right) + 3 = 2\cdot\frac{9}{4} - 9 + 3 = \frac{18}{4} - 9 + 3 = \frac{18}{4} - \frac{36}{4} + \frac{12}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} \]
   • Пересечение с осью \( y \) (для \( x = 0 \)): \[ f(0) = 2 \cdot 0^2 + 6 \cdot 0 + 3 = 3 \]
   • Теперь мы можем построить ветви параболы, начиная со значений в точке \( x = -2 \): \[ f(-2) = 2\cdot(-2)^2 + 6\cdot(-2) + 3 = 8 - 12 + 3 = -1 \]

2. Для \( x < -2 \): Функция \( f(x) = x + 2 \) — это прямая с угловым коэффициентом 1, и она будет пересекать ось \( y \) в точке 2.

   • Подставим \( x = -2 \): \[ f(-2) = -2 + 2 = 0 \]
   • Когда \( x < -2 \), прямая уходит вниз.

Шаг 2: Нахождение общих точек с прямой \( y = m \)

Чтобы прямая \( y = m \) имела ровно две общие точки с графиком функции, нужно учесть, что одна из частей функции (квадратичная) может пересекаться с прямой дважды, а другая (линейная) — ни разу или один раз в зависимости от значения \( m \).

1. Квадратичная функция \( 2x^2 + 6x + 3 = m \) должна иметь два решения.

   • Дискриминант \( D > 0 \): \[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - m) = 36 - 8(3 - m) = 36 - 24 + 8m = 12 + 8m > 0 \] \[ 8m > -12 \Rightarrow m > -\frac{3}{2} \]

2. Линейная функция \( x + 2 = m \):

   • Пересекается с \( y = m \) в точке \( x = m - 2 \).
   • Эта точка будет меньше, чем \(-2\) при \( m < 0 \).

Шаг 3: Объединение условий

Чтобы эта линия имела ровно одну общую точку с линейной частью и две с квадратной:

• \( m > -\frac{3}{2} \)
• \( m < 0 \)

Таким образом, значение \( m \) принадлежит интервалу: \[ -\frac{3}{2} < m < 0 \]

Ответ

Записываем ответ в требуемом формате: \[ -\frac{3}{2}(-\frac{3}{2};0) \] где значение числа \( -\frac{3}{2} \) (или, в виде десятичной дроби, -1.5), и промежуток (-1.5; 0).