Реши систему уравнений {4x^ 2+3y^2=40, 8x^2+6y^2=40x
Для решения системы уравнений:
\[ \begin{cases} 4x^2 + 3y^2 = 40 \\ 8x^2 + 6y^2 = 40x \end{cases} \]
начнем с преобразования каждого уравнения.
- Первое уравнение:
\[ 4x^2 + 3y^2 = 40 \]
Можно разделить все части на 4, чтобы упростить уравнение:
\[ x^2 + \frac{3}{4}y^2 = 10 \]
Это уравнение задает эллипс в декартовой системе координат.
- Второе уравнение:
\[ 8x^2 + 6y^2 = 40x \]
Переносим все в одну сторону:
\[ 8x^2 - 40x + 6y^2 = 0 \]
Теперь также можно разделить это уравнение на 2 для упрощения:
\[ 4x^2 - 20x + 3y^2 = 0 \]
Теперь у нас есть система, состоящая из одного эллипса и параболы.
- Запишем \(y^2\) из первого уравнения:
Из первого уравнения выразим \(y^2\):
\[ 3y^2 = 40 - 4x^2 \]
\[ y^2 = \frac{40 - 4x^2}{3} \]
- Подставим \(y^2\) во второе уравнение:
Теперь подставим найденное значение \(y^2\) во второе уравнение:
\[ 4x^2 - 20x + 3\left(\frac{40 - 4x^2}{3}\right) = 0 \]
Упрощаем:
\[ 4x^2 - 20x + 40 - 4x^2 = 0 \]
Это уравнение упрощается до:
\[ -20x + 40 = 0 \]
- Решим простое уравнение:
Переносим все в одну сторону:
\[ 20x = 40 \]
\[ x = 2 \]
- Найдём \(y^2\) и \(y\):
Теперь подставим \(x = 2\) в первое уравнение, чтобы найти \(y\):
\[ 4(2^2) + 3y^2 = 40 \]
\[ 4 \cdot 4 + 3y^2 = 40 \]
\[ 16 + 3y^2 = 40 \]
\[ 3y^2 = 40 - 16 \]
\[ 3y^2 = 24 \]
\[ y^2 = 8 \]
Теперь извлечем корень:
\[ y = \pm 2\sqrt{2} \]
- Ответ:
Таким образом, у нас есть два решения для системы уравнений:
\[ (x, y) = (2, 2\sqrt{2}) \quad \text{и} \quad (x, y) = (2, -2\sqrt{2}) \]
Эти точки являются решениями данной системы уравнений.
