Реши систему уравнений  {4x^ 2+3y^2=40, 8x^2+6y^2=40x

Для решения системы уравнений: \[ \begin{cases} 4x^2 + 3y^2 = 40 \\ 8x^2 + 6y^2 = 40x \end{cases} \] начнем с преобразования каждого уравнения. 1. **Первое уравнение:** \[ 4x^2 + 3y^2 = 40 \] Можно разделить все части на 4, чтобы упростить уравнение: \[ x^2 + \frac{3}{4}y^2 = 10 \] Это уравнение задает эллипс в декартовой системе координат. 2. **Второе уравнение:** \[ 8x^2 + 6y^2 = 40x \] Переносим все в одну сторону: \[ 8x^2 - 40x + 6y^2 = 0 \] Теперь также можно разделить это уравнение на 2 для упрощения: \[ 4x^2 - 20x + 3y^2 = 0 \] Теперь у нас есть система, состоящая из одного эллипса и параболы. 3. **Запишем \(y^2\) из первого уравнения:** Из первого уравнения выразим \(y^2\): \[ 3y^2 = 40 - 4x^2 \] \[ y^2 = \frac{40 - 4x^2}{3} \] 4. **Подставим \(y^2\) во второе уравнение:** Теперь подставим найденное значение \(y^2\) во второе уравнение: \[ 4x^2 - 20x + 3\left(\frac{40 - 4x^2}{3}\right) = 0 \] Упрощаем: \[ 4x^2 - 20x + 40 - 4x^2 = 0 \] Это уравнение упрощается до: \[ -20x + 40 = 0 \] 5. **Решим простое уравнение:** Переносим все в одну сторону: \[ 20x = 40 \] \[ x = 2 \] 6. **Найдём \(y^2\) и \(y\):** Теперь подставим \(x = 2\) в первое уравнение, чтобы найти \(y\): \[ 4(2^2) + 3y^2 = 40 \] \[ 4 \cdot 4 + 3y^2 = 40 \] \[ 16 + 3y^2 = 40 \] \[ 3y^2 = 40 - 16 \] \[ 3y^2 = 24 \] \[ y^2 = 8 \] Теперь извлечем корень: \[ y = \pm 2\sqrt{2} \] 7. **Ответ:** Таким образом, у нас есть два решения для системы уравнений: \[ (x, y) = (2, 2\sqrt{2}) \quad \text{и} \quad (x, y) = (2, -2\sqrt{2}) \] Эти точки являются решениями данной системы уравнений.