Один из катетов прямоугольного треугольника равен 21 см, а второй катет на 7 см меньше гипотенузы. Найдите периметр треугольника
Чтобы решить задачу о прямоугольном треугольнике, давайте начнем с обозначений.
Обозначим:
- один из катетов \( a = 21 \) см;
- второй катет \( b \) (который мы пока не знаем);
- гипотенуза \( c \).
Согласно условию, второй катет на 7 см меньше гипотенузы. Это можно записать в виде уравнения: \[ b = c - 7 \]
Теперь применим теорему Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Подставим \( a \) и \( b \) в это уравнение. Начнем с того, что подставляем известное значение \( a \): \[ 21^2 + b^2 = c^2 \]
Теперь подставим выражение для \( b \): \[ b = c - 7 \]
Теперь это выражение можно подставить в уравнение: \[ 21^2 + (c - 7)^2 = c^2 \]
Вычисляем значение \( 21^2 \): \[ 21^2 = 441 \]
Теперь наш уравнение выглядит так: \[ 441 + (c - 7)^2 = c^2 \]
Развиваем квадрат: \[ 441 + (c^2 - 14c + 49) = c^2 \]
Соберем все части на одной стороне уравнения: \[ 441 + c^2 - 14c + 49 - c^2 = 0 \]
Упростим: \[ 490 - 14c = 0 \]
Теперь решим это уравнение для \( c \): \[ 14c = 490 \] \[ c = \frac{490}{14} = 35 \, \text{см} \]
Теперь находим второй катет \( b \): \[ b = c - 7 = 35 - 7 = 28 \, \text{см} \]
Теперь у нас есть все стороны прямоугольного треугольника:
- Один катет \( a = 21 \text{ см} \)
- Второй катет \( b = 28 \text{ см} \)
- Гипотенуза \( c = 35 \text{ см} \)
Теперь найдем периметр треугольника. Периметр \( P \) треугольника равен сумме всех его сторон: \[ P = a + b + c = 21 + 28 + 35 \]
Считаем: \[ P = 21 + 28 = 49 \] \[ P = 49 + 35 = 84 \]
Итак, периметр треугольника составляет 84 см.
Таким образом, ответ: Периметр треугольника равен 84 см.
