Чтобы решить задачу о прямоугольном треугольнике, давайте начнем с обозначений.
Обозначим:
- один из катетов ( a = 21 ) см;
- второй катет ( b ) (который мы пока не знаем);
- гипотенуза ( c ).
Согласно условию, второй катет на 7 см меньше гипотенузы. Это можно записать в виде уравнения:
[ b = c - 7 ]
Теперь применим теорему Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
[ a^2 + b^2 = c^2 ]
Подставим ( a ) и ( b ) в это уравнение. Начнем с того, что подставляем известное значение ( a ):
[ 21^2 + b^2 = c^2 ]
Теперь подставим выражение для ( b ):
[ b = c - 7 ]
Теперь это выражение можно подставить в уравнение:
[ 21^2 + (c - 7)^2 = c^2 ]
Вычисляем значение ( 21^2 ):
[ 21^2 = 441 ]
Теперь наш уравнение выглядит так:
[ 441 + (c - 7)^2 = c^2 ]
Развиваем квадрат:
[ 441 + (c^2 - 14c + 49) = c^2 ]
Соберем все части на одной стороне уравнения:
[ 441 + c^2 - 14c + 49 - c^2 = 0 ]
Упростим:
[ 490 - 14c = 0 ]
Теперь решим это уравнение для ( c ):
[ 14c = 490 ]
[ c = \frac{490}{14} = 35 , \text{см} ]
Теперь находим второй катет ( b ):
[ b = c - 7 = 35 - 7 = 28 , \text{см} ]
Теперь у нас есть все стороны прямоугольного треугольника:
- Один катет ( a = 21 \text{ см} )
- Второй катет ( b = 28 \text{ см} )
- Гипотенуза ( c = 35 \text{ см} )
Теперь найдем периметр треугольника. Периметр ( P ) треугольника равен сумме всех его сторон:
[ P = a + b + c = 21 + 28 + 35 ]
Считаем:
[ P = 21 + 28 = 49 ]
[ P = 49 + 35 = 84 ]
Итак, периметр треугольника составляет 84 см.
Таким образом, ответ: Периметр треугольника равен 84 см.
