Векторы a (3,6) и b (8,y) перпендикулярны. Найдите квадрат длины вектора b

Чтобы решить задачу, начнем с того, что два вектора \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Вектор \( \mathbf{a} \) задан как \( (3, 6) \), а вектор \( \mathbf{b} \) задан как \( (8, y) \).

Шаг 1: Запишем формулу для скалярного произведения

Скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) можно найти по формуле:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 \]

Где \( a_1 \) и \( a_2 \) — компоненты вектора \( \mathbf{a} \), а \( b_1 \) и \( b_2 \) — компоненты вектора \( \mathbf{b} \).

Для наших векторов:

• \( a_1 = 3 \)
• \( a_2 = 6 \)
• \( b_1 = 8 \)
• \( b_2 = y \)

Подставляем значения в формулу:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \cdot 8 + 6 \cdot y \]

Шаг 2: Установим равенство скалярного произведения нулю

Поскольку векторы перпендикулярны, мы можем записать:

\[ 3 \cdot 8 + 6 \cdot y = 0 \]

Шаг 3: Решим уравнение

Подсчитаем \( 3 \cdot 8 = 24 \) и подставим это в уравнение:

\[ 24 + 6y = 0 \]

Теперь решим это уравнение:

\[ 6y = -24 \]

\[ y = \frac{-24}{6} = -4 \]

Теперь мы знаем, что \( y = -4 \).

Шаг 4: Найдем квадрат длины вектора \( \mathbf{b} \)

Длину вектора \( \mathbf{b} \) можно найти по формуле:

\[ |\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} \]

В итоге, квадрат длины будет:

\[ |\mathbf{b}|^2 = b_1^2 + b_2^2 \]

Подставляем значения:

• \( b_1 = 8 \)
• \( b_2 = y = -4 \)

Теперь подставим в формулу:

\[ |\mathbf{b}|^2 = 8^2 + (-4)^2 \]

Посчитаем:

\[ |\mathbf{b}|^2 = 64 + 16 = 80 \]

Ответ

Таким образом, квадрат длины вектора \( \mathbf{b} \) равен \( 80 \).