Чтобы решить задачу, начнем с того, что два вектора ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Вектор ( \mathbf{a} ) задан как ( (3, 6) ), а вектор ( \mathbf{b} ) задан как ( (8, y) ).
Шаг 1: Запишем формулу для скалярного произведения
Скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) можно найти по формуле:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2
]
Где ( a_1 ) и ( a_2 ) — компоненты вектора ( \mathbf{a} ), а ( b_1 ) и ( b_2 ) — компоненты вектора ( \mathbf{b} ).
Для наших векторов:
- ( a_1 = 3 )
- ( a_2 = 6 )
- ( b_1 = 8 )
- ( b_2 = y )
Подставляем значения в формулу:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \cdot 8 + 6 \cdot y
]
Шаг 2: Установим равенство скалярного произведения нулю
Поскольку векторы перпендикулярны, мы можем записать:
[
3 \cdot 8 + 6 \cdot y = 0
]
Шаг 3: Решим уравнение
Подсчитаем ( 3 \cdot 8 = 24 ) и подставим это в уравнение:
[
24 + 6y = 0
]
Теперь решим это уравнение:
[
6y = -24
]
[
y = \frac{-24}{6} = -4
]
Теперь мы знаем, что ( y = -4 ).
Шаг 4: Найдем квадрат длины вектора ( \mathbf{b} )
Длину вектора ( \mathbf{b} ) можно найти по формуле:
[
|\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2}
]
В итоге, квадрат длины будет:
[
|\mathbf{b}|^2 = b_1^2 + b_2^2
]
Подставляем значения:
- ( b_1 = 8 )
- ( b_2 = y = -4 )
Теперь подставим в формулу:
[
|\mathbf{b}|^2 = 8^2 + (-4)^2
]
Посчитаем:
[
|\mathbf{b}|^2 = 64 + 16 = 80
]
Ответ
Таким образом, квадрат длины вектора ( \mathbf{b} ) равен ( 80 ).
