Чтобы решить задачу, давайте вспомним некоторые основные понятия о окружности и дугах.
Дано:
- Центральный угол ( \angle AOB = 120^\circ ).
- Длина меньшей дуги ( AB = 12 ).
Найдем радиус окружности
Длина дуги ( AB ) на окружности (обозначим её ( L )) может быть найдена по формуле:
[
L = r \cdot \alpha
]
где:
- ( L ) — длина дуги,
- ( r ) — радиус окружности,
- ( \alpha ) — центральный угол в радианах.
Для перевода угла из градусов в радианы используем следующую формулу:
[
\alpha = \frac{\pi}{180^\circ} \cdot \text{градусы}
]
Таким образом, угол ( \angle AOB ) в радианах будет равен:
[
\alpha = \frac{\pi}{180} \cdot 120 = \frac{2\pi}{3}
]
Теперь можем составить уравнение, подставив известные значения:
[
12 = r \cdot \frac{2\pi}{3}
]
Решим уравнение для ( r ):
Умножим обе стороны на ( \frac{3}{2\pi} ):
[
r = \frac{12 \cdot 3}{2\pi} = \frac{36}{2\pi} = \frac{18}{\pi}
]
Теперь нашли радиус окружности ( r = \frac{18}{\pi} ).
Теперь найдем длину всей окружности
Длина окружности ( C ) вычисляется по формуле:
[
C = 2\pi r
]
Подставляем найденный радиус:
[
C = 2\pi \cdot \frac{18}{\pi} = 36
]
Ответ
Длина окружности составляет 36 единиц.
