На окружности с центром O O отмечены точки A A и B B так, что ∠ A O B = 12 0 ∘ . ∠AOB=120 ∘ .Найдите длину окружности, если длина меньшей дуги A B AB равна 12 . 12.
Чтобы решить задачу, давайте вспомним некоторые основные понятия о окружности и дугах.
Дано:
- Центральный угол \( \angle AOB = 120^\circ \).
- Длина меньшей дуги \( AB = 12 \).
Найдем радиус окружности
Длина дуги \( AB \) на окружности (обозначим её \( L \)) может быть найдена по формуле:
\[ L = r \cdot \alpha \]
где:
- \( L \) — длина дуги,
- \( r \) — радиус окружности,
- \( \alpha \) — центральный угол в радианах.
Для перевода угла из градусов в радианы используем следующую формулу:
\[ \alpha = \frac{\pi}{180^\circ} \cdot \text{градусы} \]
Таким образом, угол \( \angle AOB \) в радианах будет равен:
\[ \alpha = \frac{\pi}{180} \cdot 120 = \frac{2\pi}{3} \]
Теперь можем составить уравнение, подставив известные значения:
\[ 12 = r \cdot \frac{2\pi}{3} \]
Решим уравнение для \( r \):
Умножим обе стороны на \( \frac{3}{2\pi} \):
\[ r = \frac{12 \cdot 3}{2\pi} = \frac{36}{2\pi} = \frac{18}{\pi} \]
Теперь нашли радиус окружности \( r = \frac{18}{\pi} \).
Теперь найдем длину всей окружности
Длина окружности \( C \) вычисляется по формуле:
\[ C = 2\pi r \]
Подставляем найденный радиус:
\[ C = 2\pi \cdot \frac{18}{\pi} = 36 \]
Ответ
Длина окружности составляет 36 единиц.
