На окружности с центром O O отмечены точки A A и B B так, что ∠ A O B = 13 0 ∘ . ∠AOB=130 ∘ .Длина меньшей дуги A B AB равна 26 . 26. Найдите длину большей дуги.
Для решения задачи о длине большей дуги окружности, прошедшей через точки A и B, начнем с того, что известны следующие параметры:
- Угол \( \angle AOB = 130^\circ \).
- Длина меньшей дуги \( AB = 26 \).
Давайте разберемся, как мы можем вычислить длину большей дуги.
Шаг 1: Определение общего угла окружности
Зная, что окружность составляет полный угол в \( 360^\circ \), можем найти угол, соответствующий большей дуге \( AB \):
\[ \text{Угол для большей дуги} = 360^\circ - \angle AOB = 360^\circ - 130^\circ = 230^\circ. \]
Шаг 2: Определение длины окружности
Длина дуги окружности пропорциональна углу, который она описывает. Длину меньшей дуги \( AB \) мы можем использовать для нахождения длины всей окружности.
Длина дуги \( AB \) является частью общей длины окружности и может быть вычислена по формуле:
\[ L = r \cdot \frac{\theta}{360^\circ}, \]
где:
- \( L \) — длина дуги,
- \( r \) — радиус окружности,
- \( \theta \) — угол в градусах.
Известно, что длина меньшей дуги равна 26. Подставим данные в формулу:
\[ 26 = r \cdot \frac{130^\circ}{360^\circ}. \]
Шаг 3: Найдем радиус окружности
Перепишем уравнение для поиска радиуса \( r \):
\[ r = 26 \cdot \frac{360^\circ}{130^\circ}. \]
Решая это уравнение, получаем:
\[ r = 26 \cdot \frac{360}{130} = 26 \cdot \frac{36}{13} = 72. \]
Таким образом, радиус \( r = 72 \).
Шаг 4: Рассчитаем длину всей окружности
Полная длина окружности \( C \):
\[ C = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 72 = 144\pi. \]
Шаг 5: Вычисление длины большей дуги
Теперь мы можем найти длину большей дуги, используя её угол:
\[ L_{\text{большая}} = r \cdot \frac{230^\circ}{360^\circ}. \]
Подставим найденный радиус:
\[ L_{\text{большая}} = 72 \cdot \frac{230}{360}. \]
Выполним вычисления:
\[ L_{\text{большая}} = 72 \cdot \frac{230}{360} = 72 \cdot \frac{23}{36} = 46. \]
Итог
Длина большей дуги \( AB \) равна \( 46 \).
Таким образом, подытожим:
- Длина меньшей дуги \( AB = 26 \).
- Длина большей дуги \( AB = 46 \).
