Для решения задачи о длине большей дуги окружности, прошедшей через точки A и B, начнем с того, что известны следующие параметры:
- Угол ( \angle AOB = 130^\circ ).
- Длина меньшей дуги ( AB = 26 ).
Давайте разберемся, как мы можем вычислить длину большей дуги.
Шаг 1: Определение общего угла окружности
Зная, что окружность составляет полный угол в ( 360^\circ ), можем найти угол, соответствующий большей дуге ( AB ):
[
\text{Угол для большей дуги} = 360^\circ - \angle AOB = 360^\circ - 130^\circ = 230^\circ.
]
Шаг 2: Определение длины окружности
Длина дуги окружности пропорциональна углу, который она описывает. Длину меньшей дуги ( AB ) мы можем использовать для нахождения длины всей окружности.
Длина дуги ( AB ) является частью общей длины окружности и может быть вычислена по формуле:
[
L = r \cdot \frac{\theta}{360^\circ},
]
где:
- ( L ) — длина дуги,
- ( r ) — радиус окружности,
- ( \theta ) — угол в градусах.
Известно, что длина меньшей дуги равна 26. Подставим данные в формулу:
[
26 = r \cdot \frac{130^\circ}{360^\circ}.
]
Шаг 3: Найдем радиус окружности
Перепишем уравнение для поиска радиуса ( r ):
[
r = 26 \cdot \frac{360^\circ}{130^\circ}.
]
Решая это уравнение, получаем:
[
r = 26 \cdot \frac{360}{130} = 26 \cdot \frac{36}{13} = 72.
]
Таким образом, радиус ( r = 72 ).
Шаг 4: Рассчитаем длину всей окружности
Полная длина окружности ( C ):
[
C = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 72 = 144\pi.
]
Шаг 5: Вычисление длины большей дуги
Теперь мы можем найти длину большей дуги, используя её угол:
[
L_{\text{большая}} = r \cdot \frac{230^\circ}{360^\circ}.
]
Подставим найденный радиус:
[
L_{\text{большая}} = 72 \cdot \frac{230}{360}.
]
Выполним вычисления:
[
L_{\text{большая}} = 72 \cdot \frac{230}{360} = 72 \cdot \frac{23}{36} = 46.
]
Итог
Длина большей дуги ( AB ) равна ( 46 ).
Таким образом, подытожим:
- Длина меньшей дуги ( AB = 26 ).
- Длина большей дуги ( AB = 46 ).
