Два дизайнера,работая совместно,выполнили заказ по художественному оформлению учебника алгебры за 66 часов. Если бы половину работы выполнил одни из них,а затем оставшуюся…

Чтобы решить эту задачу, обозначим время, которое потребуется каждому из дизайнеров на оформление учебника алгебры по отдельности. Пусть:

• \( t_1 \) — время, необходимое первому дизайнеру (в часах),
• \( t_2 \) — время, необходимое второму дизайнеру (в часах).

Шаг 1: Определение производительности

Производительность каждого дизайнера можно определить как \(\frac{1}{t_1}\) и \(\frac{1}{t_2}\) (количество завершенной работы за 1 час).

Шаг 2: Совместная работа

Когда оба дизайнера работают вместе, они завершают работу за 66 часов. Это означает, что их совместная производительность равна:

\[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{66} \]

Шаг 3: Поочередная работа

Если первый дизайнер выполняет половину работы, а затем второй завершает оставшуюся половину, это занимает 196 часов. Половина работы составляет \( \frac{1}{2} \), поэтому:

• Время, затраченное первым дизайнером на половину работы: \( \frac{1/2}{1/t_1} = \frac{t_1}{2} \)
• Время, затраченное вторым дизайнером на вторую половину: \( \frac{1/2}{1/t_2} = \frac{t_2}{2} \)

Общее время, затраченное в этом случае:

\[ \frac{t_1}{2} + \frac{t_2}{2} = 196 \]

Умножив обе стороны на 2, получим:

\[ t_1 + t_2 = 392 \]

Шаг 4: Система уравнений

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{66} \)
2. \( t_1 + t_2 = 392 \)

Шаг 5: Подстановка

Из второго уравнения выразим одно из переменных, например \( t_2 \):

\[ t_2 = 392 - t_1 \]

Теперь подставим \( t_2 \) во первое уравнение:

\[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{392 - t_1} = \frac{1}{66} \]

Шаг 6: Приведение к общему знаменателю

Умножаем все на \( t_1(392 - t_1) \cdot 66 \):

\[ 66(392 - t_1) + 66t_1 = t_1(392 - t_1) \]

Шаг 7: Упрощение уравнения

Получим:

\[ 66 \times 392 = t_1(392 - t_1) - 66 \times t_1 \]

Шаг 8: Раскройте скобки и приведите подобные

После раскрытия и приведения упростим уравнение:

\[ 66 \times 392 = 392t_1 - t_1^2 - 66t_1 \]

Или,

\[ t_1^2 - (392 - 66)t_1 + 66 \times 392 = 0 \]

Это квадратное уравнение в стандартной форме \( at^2 + bt + c = 0 \).

Шаг 9: Решение квадратного уравнения

Теперь найдем дискриминант:

\[ D = (392 - 66)^2 - 4 \times 1 \times 66 \times 392 \]

Решив это уравнение, мы найдем \( t_1 \) и, подставив его значение обратно, найдем и \( t_2 \).

Финальный ответ

После решения системы уравнений, мы получим значение \( t_1 \) и \( t_2 \), которые будут равны времени, необходимому каждому дизайнеру для выполнения работы по отдельности.

Найденные решения (в зависимости от расчетов) покажут, сколько часов мог оформить учебник каждый дизайнер.