Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Шаг 1: Обозначим переменные
Пусть:
- Скорость второго автомобиля равна (x) км/ч.
- Скорость первого автомобиля, который едет на 9 км/ч медленнее, будет (x - 9) км/ч.
Шаг 2: Найдем время в пути для каждого автомобиля
Время в пути вычисляется по формуле:
[
\text{Время} = \frac{\text{Расстояние}}{\text{Скорость}}
]
Для второго автомобиля:
[
\text{Время второго} = \frac{540}{x}
]
Для первого автомобиля:
[
\text{Время первого} = \frac{540}{x - 9}
]
Шаг 3: Составим уравнение
По условию задачи, первый автомобиль прибывает на 2 часа позже второго. Таким образом, мы можем записать уравнение:
[
\frac{540}{x - 9} = \frac{540}{x} + 2
]
Шаг 4: Упростим уравнение
Переносим значение времени второго автомобиля на левую сторону уравнения:
[
\frac{540}{x - 9} - \frac{540}{x} = 2
]
Теперь найдём общий знаменатель для дробей:
[
\frac{540x - 540(x - 9)}{x(x - 9)} = 2
]
[
\frac{540x - 540x + 4860}{x(x - 9)} = 2
]
[
\frac{4860}{x(x - 9)} = 2
]
Шаг 5: Умножим обе стороны уравнения на (x(x - 9))
Это избавит нас от дроби:
[
4860 = 2x(x - 9)
]
[
4860 = 2x^2 - 18x
]
Шаг 6: Переносим всё в одно уравнение
[
2x^2 - 18x - 4860 = 0
]
Шаг 7: Разделим уравнение на 2 для упрощения
[
x^2 - 9x - 2430 = 0
]
Шаг 8: Решим квадратное уравнение с помощью формулы discriminant
Для нахождения корней уравнения можно использовать формулу:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
где (D = b^2 - 4ac).
В нашем случае: (a = 1), (b = -9), (c = -2430). Посчитаем дискриминант:
[
D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2430) = 81 + 9720 = 9801
]
Теперь находим (x):
[
x = \frac{9 \pm \sqrt{9801}}{2}
]
Сначала найдём корень из 9801. Это 99, так как (99^2 = 9801).
Теперь подставляем:
[
x = \frac{9 \pm 99}{2}
]
Решение:
- (x = \frac{108}{2} = 54)
- (x = \frac{-90}{2} = -45) (отбрасываем, так как скорость не может быть отрицательной)
Шаг 9: Найдем скорость первого автомобиля
Скорость второго автомобиля (x = 54) км/ч.
Скорость первого автомобиля:
[
x - 9 = 54 - 9 = 45 \text{ км/ч}
]
Таким образом, скорость первого автомобиля составляет 45 км/ч.
Ответ: 45 км/ч.
