Два автомобиля одновременно отправляются в 540 -километровый пробег. Первый едет со скоростью на 9 км/ч меньше, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч позже второго. Найди…

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Обозначим переменные

Пусть:

• Скорость второго автомобиля равна \(x\) км/ч.
• Скорость первого автомобиля, который едет на 9 км/ч медленнее, будет \(x - 9\) км/ч.

Шаг 2: Найдем время в пути для каждого автомобиля

Время в пути вычисляется по формуле: \[ \text{Время} = \frac{\text{Расстояние}}{\text{Скорость}} \]

Для второго автомобиля: \[ \text{Время второго} = \frac{540}{x} \]

Для первого автомобиля: \[ \text{Время первого} = \frac{540}{x - 9} \]

Шаг 3: Составим уравнение

По условию задачи, первый автомобиль прибывает на 2 часа позже второго. Таким образом, мы можем записать уравнение: \[ \frac{540}{x - 9} = \frac{540}{x} + 2 \]

Шаг 4: Упростим уравнение

Переносим значение времени второго автомобиля на левую сторону уравнения: \[ \frac{540}{x - 9} - \frac{540}{x} = 2 \]

Теперь найдём общий знаменатель для дробей: \[ \frac{540x - 540(x - 9)}{x(x - 9)} = 2 \] \[ \frac{540x - 540x + 4860}{x(x - 9)} = 2 \] \[ \frac{4860}{x(x - 9)} = 2 \]

Шаг 5: Умножим обе стороны уравнения на \(x(x - 9)\)

Это избавит нас от дроби: \[ 4860 = 2x(x - 9) \] \[ 4860 = 2x^2 - 18x \]

Шаг 6: Переносим всё в одно уравнение

\[ 2x^2 - 18x - 4860 = 0 \]

Шаг 7: Разделим уравнение на 2 для упрощения

\[ x^2 - 9x - 2430 = 0 \]

Шаг 8: Решим квадратное уравнение с помощью формулы discriminant

Для нахождения корней уравнения можно использовать формулу: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] где \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае: \(a = 1\), \(b = -9\), \(c = -2430\). Посчитаем дискриминант: \[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2430) = 81 + 9720 = 9801 \]

Теперь находим \(x\): \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{9801}}{2} \] Сначала найдём корень из 9801. Это 99, так как \(99^2 = 9801\).

Теперь подставляем: \[ x = \frac{9 \pm 99}{2} \]

Решение:

1. \(x = \frac{108}{2} = 54\)
2. \(x = \frac{-90}{2} = -45\) (отбрасываем, так как скорость не может быть отрицательной)

Шаг 9: Найдем скорость первого автомобиля

Скорость второго автомобиля \(x = 54\) км/ч. Скорость первого автомобиля: \[ x - 9 = 54 - 9 = 45 \text{ км/ч} \]

Таким образом, скорость первого автомобиля составляет 45 км/ч.

Ответ: 45 км/ч.