_ Задача 2. Вероятность изготовления на станке нестандартной детали равна 0,1. Найти вероятность того, что из 6 взятых деталей 5 окажутся стандартными?…

Для решения данной задачи нам нужно использовать основы теории вероятностей. В данном случае мы имеем дело с распределением Бернулли, поскольку у нас есть два исхода: деталь может быть стандартной или нестандартной. Дадим решение пошагово:

Дано:

• Вероятность изготовления нестандартной детали \( p = 0,1 \)
• Вероятность изготовления стандартной детали \( q = 1 - p = 1 - 0,1 = 0,9 \)
• Общее количество деталей \( n = 6 \)
• Количество стандартных деталей, которые мы хотим получить \( k = 5 \)

Нам нужно найти:

Вероятность того, что из 6 деталей 5 окажутся стандартными.

Решение:

Мы можем использовать формулу для биномиального распределения:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} q^k p^{n-k} \]

где:

• \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
• \( q^k \) — вероятность успеха (стандартной детали) в степени \( k \)
• \( p^{n-k} \) — вероятность неудачи (нестандартной детали) в степени \( n-k \)

Шаг 1: Вычисление биномиального коэффициента

Сначала найдем биномиальный коэффициент \( \binom{6}{5} \):

\[ \binom{6}{5} = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = \frac{6 \cdot 5!}{5! \cdot 1} = 6 \]

Шаг 2: Подстановка значений в формулу

Теперь подставим все найденные значения в формулу:

\[ P(X = 5) = \binom{6}{5} \cdot q^5 \cdot p^{6-5} \]

Подставим значения:

\[ P(X = 5) = 6 \cdot (0,9)^5 \cdot (0,1)^1 \]

Шаг 3: Вычисление вероятностей

Теперь вычислим \( (0,9)^5 \) и \( (0,1)^1 \):

\[ (0,9)^5 = 0,59049 \quad \text{и} \quad (0,1)^1 = 0,1 \]

Шаг 4: Подставляем значения

Теперь подставим эти значения:

\[ P(X = 5) = 6 \cdot 0,59049 \cdot 0,1 \]

Шаг 5: Завершающие вычисления

Теперь произведем окончательные вычисления:

\[ P(X = 5) = 6 \cdot 0,59049 \cdot 0,1 = 6 \cdot 0,059049 \approx 0,354294 \]

Ответ:

Вероятность того, что из 6 деталей 5 окажутся стандартными, составляет приблизительно \( 0,3543 \) или \( 35,43\% \).

Теперь вы понимаете, как решать подобные задачи на вероятность! Если есть вопросы или нужно помочь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать.