Найди решение системы уравнений { 9 y + 13 ( 2 x − 3 y ) = 6 x + 16 ; 7 x + 5 ( 3 x − 8 y ) = 14 y – 16. { 9y+13(2x−3y)=6x+16; 7x+5(3x−8y)=14y–16.
Чтобы найти решение данной системы уравнений, начнем с разложения каждого уравнения и упрощения.
Система уравнений выглядит так:
- \( 9y + 13(2x - 3y) = 6x + 16 \)
- \( 7x + 5(3x - 8y) = 14y - 16 \)
Шаг 1: Упростим первое уравнение
Раскроим скобки в первом уравнении:
\[ 9y + 13(2x) - 13(3y) = 6x + 16 \]
Это приводит к:
\[ 9y + 26x - 39y = 6x + 16 \]
Теперь объединим подобные члены:
\[ (26x - 6x) + (9y - 39y) = 16 \]
К этому моменту идем к:
\[ 20x - 30y = 16 \]
Чтобы упростить, разделим все части уравнения на 2:
\[ 10x - 15y = 8 \quad (1) \]
Шаг 2: Упростим второе уравнение
Теперь раскроем скобки во втором уравнении:
\[ 7x + 5(3x) - 5(8y) = 14y - 16 \]
Это дает нам:
\[ 7x + 15x - 40y = 14y - 16 \]
Объединим подобные члены:
\[ (7x + 15x) + 40y = 14y - 16 \]
Теперь имеем:
\[ 22x + 40y = 14y - 16 \]
Собираем все члены по одну сторону:
\[ 22x + 40y - 14y = -16 \]
Упрощаем:
\[ 22x + 26y = -16 \quad (2) \]
Шаг 3: Решим систему уравнений (1) и (2)
Система уравнений теперь выглядит так:
- \( 10x - 15y = 8 \)
- \( 22x + 26y = -16 \)
Мы можем выразить \( y \) из первого уравнения:
\[ 10x - 15y = 8 \implies 15y = 10x - 8 \implies y = \frac{10x - 8}{15} \]
Теперь подставим \( y \) во второе уравнение:
\[ 22x + 26\left(\frac{10x - 8}{15}\right) = -16 \]
Умножим каждый член на 15, чтобы избавиться от дроби:
\[ 15 \cdot 22x + 26(10x - 8) = -16 \cdot 15 \]
Это приводит к:
\[ 330x + 260x - 208 = -240 \]
Собираем аналогичные члены:
\[ 590x - 208 = -240 \implies 590x = -240 + 208 \implies 590x = -32 \]
Находим \( x \):
\[ x = \frac{-32}{590} = -\frac{16}{295} \]
Шаг 4: Найдем \( y \)
Теперь подставим найденное значение \( x \) в выражение для \( y \):
\[ y = \frac{10\left(-\frac{16}{295}\right) - 8}{15} \]
Упрощаем:
\[ y = \frac{-\frac{160}{295} - 8}{15} \]
Сначала приведем \( -8 \) к общему знаменателю:
\[ -8 = -\frac{2360}{295} \implies y = \frac{-\frac{160}{295} - \frac{2360}{295}}{15} \] \[ y = \frac{-\frac{2520}{295}}{15} = -\frac{2520}{4425} = -\frac{56}{75} \]
Ответ
Решением системы уравнений являются значения:
\[ x = -\frac{16}{295}, \quad y = -\frac{56}{75} \]
Если нужны дальнейшие разъяснения или помощь, пожалуйста, дайте знать!
