Для нахождения площади правильного многоугольника с ( n ) сторонами и радиусом описанной окружности ( R ) используется следующая формула:
[
S = \frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)
]
Где:
- ( S ) — площадь многоугольника,
- ( n ) — количество сторон,
- ( R ) — радиус окружности, описанной около многоугольника,
- ( \sin ) — синус.
Теперь применим эту формулу для заданных условий.
1) Для многоугольника с 6 сторонами и ( R = 14 ) см:
Подставим значения в формулу:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (14^2) \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{6}\right) = 3 \cdot 196 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)
]
Значение ( \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} ).
Подставим:
[
S = 3 \cdot 196 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 294\sqrt{3} , \text{см}^2
]
2) Для многоугольника с 15 сторонами и ( R = 14 ) см:
Подставим значения в формулу:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot (14^2) \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{15}\right) = \frac{15}{2} \cdot 196 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{15}\right) = 1470 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{15}\right)
]
Теперь необходимо вычислить значение ( \sin\left(\frac{2\pi}{15}\right) ). Для этого можно использовать числовые методы или таблицы. Приближенно:
[
\sin\left(\frac{2\pi}{15}\right) \approx 0.1305
]
Теперь подставим это значение:
[
S \approx 1470 \cdot 0.1305 \approx 192.735 , \text{см}^2
]
Ответ:
- Площадь правильного шестиугольника с ( R = 14 ) см: ( 294\sqrt{3} , \text{см}^2 \approx 509.9 , \text{см}^2 ).
- Площадь правильного пятнадцатигранника с ( R = 14 ) см: ( \approx 192.735 , \text{см}^2 ).
