Перед началом волейбольного матча жребием определяется команда, которая будет первой осуществлять подачу. Команда «Рубин» по очереди играет с командами «Сапфир», «Изумруд»,…

Чтобы решить задачу, нам необходимо понять, что форма задачи касается вероятности определенного события. В данном случае речь идет о команде «Рубин» и ее шансах осуществить подачу первым в трех играх против других команд.

Шаг 1: Определение событий

Команда «Рубин» может играть с четырьмя различными командами:

1. Сапфир
2. Изумруд
3. Аметист
4. Топаз

В каждой игре жребий решает, кто будет подавать первым, и, поскольку команды одинаково вероятные, вероятность того, что «Рубин» будет первым, равна 1/5, а вероятность того, что другая команда будет первой — 4/5.

Шаг 2: Формулировка задачи

Нам нужно найти вероятность того, что команда «Рубин» будет первой подавать ровно в трех играх. Для этого мы будем использовать биномиальное распределение, которое применяется для событий, имеющих два возможных исхода (в нашем случае, «Рубин» подает первым или нет).

Шаг 3: Биномиальная формула

Биномиальная вероятность рассчитывается по формуле:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где:

• \( P(X = k) \) — вероятность того, что событие произойдет ровно \( k \) раз,
• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный числу сочетаний из \( n \) по \( k \),
• \( p \) — вероятность успеха в одном испытании,
• \( n \) — общее количество испытаний,
• \( k \) — количество успехов.

В нашем случае:

• \( n = 4 \) (четыре матча),
• \( k = 3 \) (три игры, когда «Рубин» первый),
• \( p = \frac{1}{5} \).

Шаг 4: Вычисление биномиального коэффициента

Сначала нам нужно вычислить биномиальный коэффициент \( C(4, 3) \):

\[ C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4 - 3)!} = \frac{4 \cdot 3!}{3! \cdot 1!} = 4 \]

Шаг 5: Подстановка значений в формулу

Теперь подставим известные значения в формулу:

\[ P(X = 3) = C(4, 3) \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^3 \cdot \left(1 - \frac{1}{5}\right)^{4 - 3} \]

\[ P(X = 3) = 4 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^1 \]

Теперь посчитаем каждую часть:

1. \( \left(\frac{1}{5}\right)^3 = \frac{1}{125} \)
2. \( \left(\frac{4}{5}\right)^1 = \frac{4}{5} \)

Теперь продолжим вычисления:

\[ P(X = 3) = 4 \cdot \frac{1}{125} \cdot \frac{4}{5} \]

Упростим:

\[ = 4 \cdot \frac{4}{625} = \frac{16}{625} \]

Ответ

Вероятность того, что команда «Рубин» будет первой осуществлять подачу ровно в трех играх, составляет \(\frac{16}{625}\).