Перед началом волейбольного матча жребием определяется команда, которая будет первой осуществлять подачу. Команда «Рубин» по очереди играет с командами «Сапфир», «Изумруд», «Аметист» и «Топаз». Найдите вероятность того, что команда «Рубин» будет первой осуществлять подачу ровно в трёх играх.

Чтобы решить задачу, нам необходимо понять, что форма задачи касается вероятности определенного события. В данном случае речь идет о команде «Рубин» и ее шансах осуществить подачу первым в трех играх против других команд. ### Шаг 1: Определение событий Команда «Рубин» может играть с четырьмя различными командами: 1. Сапфир 2. Изумруд 3. Аметист 4. Топаз В каждой игре жребий решает, кто будет подавать первым, и, поскольку команды одинаково вероятные, вероятность того, что «Рубин» будет первым, равна 1/5, а вероятность того, что другая команда будет первой — 4/5. ### Шаг 2: Формулировка задачи Нам нужно найти вероятность того, что команда «Рубин» будет первой подавать ровно в трех играх. Для этого мы будем использовать биномиальное распределение, которое применяется для событий, имеющих два возможных исхода (в нашем случае, «Рубин» подает первым или нет). ### Шаг 3: Биномиальная формула Биномиальная вероятность рассчитывается по формуле: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \] где: - \( P(X = k) \) — вероятность того, что событие произойдет ровно \( k \) раз, - \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный числу сочетаний из \( n \) по \( k \), - \( p \) — вероятность успеха в одном испытании, - \( n \) — общее количество испытаний, - \( k \) — количество успехов. В нашем случае: - \( n = 4 \) (четыре матча), - \( k = 3 \) (три игры, когда «Рубин» первый), - \( p = \frac{1}{5} \). ### Шаг 4: Вычисление биномиального коэффициента Сначала нам нужно вычислить биномиальный коэффициент \( C(4, 3) \): \[ C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4 - 3)!} = \frac{4 \cdot 3!}{3! \cdot 1!} = 4 \] ### Шаг 5: Подстановка значений в формулу Теперь подставим известные значения в формулу: \[ P(X = 3) = C(4, 3) \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^3 \cdot \left(1 - \frac{1}{5}\right)^{4 - 3} \] \[ P(X = 3) = 4 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^1 \] Теперь посчитаем каждую часть: 1. \( \left(\frac{1}{5}\right)^3 = \frac{1}{125} \) 2. \( \left(\frac{4}{5}\right)^1 = \frac{4}{5} \) Теперь продолжим вычисления: \[ P(X = 3) = 4 \cdot \frac{1}{125} \cdot \frac{4}{5} \] Упростим: \[ = 4 \cdot \frac{4}{625} = \frac{16}{625} \] ### Ответ Вероятность того, что команда «Рубин» будет первой осуществлять подачу ровно в трех играх, составляет \(\frac{16}{625}\).