У Романа на полке стоят 10 книг (2 из которых рассказы, а остальные учебники). Сколькими способами подросток может выбрать 4 книги? Если Роману не нужны рассказы, то книги он…

Для решения задачи о выборе книг, мы будем использовать комбинаторику, а именно комбинации. Комбинации позволяют нам определить количество способов выбрать элемент(ы) из множества, когда порядок не имеет значения.

У нас есть 10 книг на полке:

• 2 книги-рассказа
• 8 учебников

1. Сколько способов выбрать 4 книги, если Роману не нужны рассказы?

В этом случае Роман может выбрать только из 8 учебников.

Чтобы найти количество способов выбрать 4 учебника из 8, мы воспользуемся формулой комбинаций:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где:

• \( n \) — общее количество предметов (в данном случае 8),
• \( k \) — количество предметов, которые мы хотим выбрать (в данном случае 4),
• \( ! \) — факториал числа.

Подставим значения в формулу:

\[ C(8, 4) = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} \]

Теперь посчитаем факториалы:

\[ 8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \] \[ 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \]

Теперь подставим эти значения в формулу:

\[ C(8, 4) = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1680}{24} = 70 \]

Таким образом, Роман может выбрать 4 книги-учебника 70 способами.

2. Сколько способов выбрать 4 книги, включая и учебники, и книги-рассказы?

Теперь Роман может выбрать книги как из учебников, так и из рассказов. Количество способов будет зависеть от того, сколько книг он выберет разных типов.

Вот возможные сочетания:

1. 4 учебника, 0 рассказов
2. 3 учебника, 1 рассказ
3. 2 учебника, 2 рассказа
4. 1 учебник, 3 рассказа (недопустимо, потому что у нас всего 2 рассказа)
5. 0 учебников, 4 рассказа (недопустимо, потому что у нас всего 2 рассказа)

Считаем каждое из допустимых сочетаний:

1. 4 учебника, 0 рассказов:

   • У нас уже было рассчитано: \( C(8, 4) = 70 \)

2. 3 учебника, 1 рассказ:

   • Выбираем 3 учебника из 8 и 1 рассказ из 2.
   • Способы: \( C(8, 3) \cdot C(2, 1) \)

   \[ C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{336}{6} = 56 \] \[ C(2, 1) = 2 \] \[ \text{Общее количество способов} = 56 \cdot 2 = 112 \]

3. 2 учебника, 2 рассказа:

   • Выбираем 2 учебника из 8 и 2 рассказа из 2.
   • Способы: \( C(8, 2) \cdot C(2, 2) \)

   \[ C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28 \] \[ C(2, 2) = 1 \] \[ \text{Общее количество способов} = 28 \cdot 1 = 28 \]

Итоговое количество способов выбрать 4 книги:

Теперь сложим все результаты:

\[ \text{Общее количество способов} = 70 + 112 + 28 = 210 \]

Таким образом, Роман может выбрать 4 книги (включая учебники и рассказы) 210 способами.