Для решения задачи о выборе книг, мы будем использовать комбинаторику, а именно комбинации. Комбинации позволяют нам определить количество способов выбрать элемент(ы) из множества, когда порядок не имеет значения.
У нас есть 10 книг на полке:
- 2 книги-рассказа
- 8 учебников
1. Сколько способов выбрать 4 книги, если Роману не нужны рассказы?
В этом случае Роман может выбрать только из 8 учебников.
Чтобы найти количество способов выбрать 4 учебника из 8, мы воспользуемся формулой комбинаций:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где:
- ( n ) — общее количество предметов (в данном случае 8),
- ( k ) — количество предметов, которые мы хотим выбрать (в данном случае 4),
- ( ! ) — факториал числа.
Подставим значения в формулу:
[
C(8, 4) = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!}
]
Теперь посчитаем факториалы:
[
8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
]
[
4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24
]
Теперь подставим эти значения в формулу:
[
C(8, 4) = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1680}{24} = 70
]
Таким образом, Роман может выбрать 4 книги-учебника 70 способами.
2. Сколько способов выбрать 4 книги, включая и учебники, и книги-рассказы?
Теперь Роман может выбрать книги как из учебников, так и из рассказов. Количество способов будет зависеть от того, сколько книг он выберет разных типов.
Вот возможные сочетания:
- 4 учебника, 0 рассказов
- 3 учебника, 1 рассказ
- 2 учебника, 2 рассказа
- 1 учебник, 3 рассказа (недопустимо, потому что у нас всего 2 рассказа)
- 0 учебников, 4 рассказа (недопустимо, потому что у нас всего 2 рассказа)
Считаем каждое из допустимых сочетаний:
4 учебника, 0 рассказов:
- У нас уже было рассчитано: ( C(8, 4) = 70 )
3 учебника, 1 рассказ:
- Выбираем 3 учебника из 8 и 1 рассказ из 2.
- Способы: ( C(8, 3) \cdot C(2, 1) )
[
C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{336}{6} = 56
]
[
C(2, 1) = 2
]
[
\text{Общее количество способов} = 56 \cdot 2 = 112
]
2 учебника, 2 рассказа:
- Выбираем 2 учебника из 8 и 2 рассказа из 2.
- Способы: ( C(8, 2) \cdot C(2, 2) )
[
C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28
]
[
C(2, 2) = 1
]
[
\text{Общее количество способов} = 28 \cdot 1 = 28
]
Итоговое количество способов выбрать 4 книги:
Теперь сложим все результаты:
[
\text{Общее количество способов} = 70 + 112 + 28 = 210
]
Таким образом, Роман может выбрать 4 книги (включая учебники и рассказы) 210 способами.
