Задача 1: Фабрика игрушек На фабрике производят три типа игрушек: машинки, куклы и мячи. • Вероятность того, что случайно выбранная игрушка — машинка, составляет 40%. • Кукла…

Давайте решим задачу шаг за шагом и нарисуем дерево вероятностей.

Дано:

1. Типы игрушек и их вероятности:

   • Машинки: \(P(М) = 0.4\) (40%)
   • Куклы: \(P(К) = 0.35\) (35%)
   • Мячи: \(P(Мя) = 1 - P(М) - P(К) = 1 - 0.4 - 0.35 = 0.25\) (25%)

2. Цвета игрушек:

   • Красные машинки: \(P(Кр | М) = 0.6\)
   • Синие куклы: \(P(Си | К) = 0.5\)
   • Красные мячи: \(P(Кр | Мя) = 0.7\)

Каждая игрушка может быть красной или синей, и мы можем рассчитать вероятность того, что случайно выбранная игрушка будет красной или синей.

Дерево вероятностей

Дерево вероятностей выглядит следующим образом:

                       [Игрушка]
                         /   |   \
                    М  /    |    \  К
                      /     |     \
                 [0.4]   [0.35]   [0.25]
                 / \      / \      / \
              Кр /  Си  /  Кр  Си /  Кр
                /      \       /     \
             [0.6]   [0.4]  [0.3]  [0.5]  

Расчеты

a) Вероятность того, что случайно выбранная игрушка окажется красной \(P(Кр)\)

Возможные варианты для красной игрушки:

• Красная машинка: \(P(Кр \cap М) = P(М) \cdot P(Кр | М) = 0.4 \cdot 0.6 = 0.24\)
• Красная кукла: \(P(Кр \cap К) = P(К) \cdot P(Кр | К) = 0.35 \cdot (1 - 0.5) = 0.35 \cdot 0.5 = 0.175\)
• Красный мяч: \(P(Кр \cap Мя) = P(Мя) \cdot P(Кр | Мя) = 0.25 \cdot 0.7 = 0.175\)

Теперь находим общую вероятность красной игрушки: \[ P(Кр) = P(Кр \cap М) + P(Кр \cap К) + P(Кр \cap Мя) = 0.24 + 0.175 + 0.175 = 0.59 \]

b) Вероятность того, что случайно выбранная игрушка окажется синей \(P(Си)\)

Возможные варианты для синей игрушки:

• Синяя машинка: \(P(Си \cap М) = P(М) \cdot P(Си | М) = 0.4 \cdot (1 - 0.6) = 0.4 \cdot 0.4 = 0.16\)
• Синяя кукла: \(P(Си \cap К) = P(К) \cdot P(Си | К) = 0.35 \cdot 0.5 = 0.175\)
• Синий мяч: \(P(Си \cap Мя) = P(Мя) \cdot P(Си | Мя) = 0.25 \cdot (1 - 0.7) = 0.25 \cdot 0.3 = 0.075\)

Теперь находим общую вероятность синей игрушки: \[ P(Си) = P(Си \cap М) + P(Си \cap К) + P(Си \cap Мя) = 0.16 + 0.175 + 0.075 = 0.41 \]

c) Вероятность того, что случайно выбранная игрушка окажется красной машинкой \(P(Кр \cap М)\)

Мы уже рассчитали эту вероятность, когда находили вероятность красной игрушки: \[ P(Кр \cap М) = 0.24 \]

Результаты

• a) Вероятность, что игрушка красная \(P(Кр) = 0.59\)
• b) Вероятность, что игрушка синяя \(P(Си) = 0.41\)
• c) Вероятность, что игрушка красная машинка \(P(Кр \cap М) = 0.24\)

Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется дальнейшее объяснение, дайте знать!