В холодильнике 9 бананов, 8 апельсинов и 9 яблок. Сколькими способами дети могут выбрать 4 банана, 3 апельсина и 3 яблока для приготовления фруктового салата?
Для решения задачи о том, сколько способов дети могут выбрать фрукты, нужно учесть, что у нас есть определённое количество каждого вида фруктов и мы выбираем фиксированное количество из них. Это задача на комбинаторику, и мы можем использовать формулу для сочетаний.
Определим, сколько фруктов у нас есть:
- Бананы: 9
- Апельсины: 8
- Яблоки: 9
Сколько фруктов мы хотим выбрать:
- Бананы: 4
- Апельсины: 3
- Яблоки: 3
Используем формулу сочетаний: Формула для сочетания из \( n \) элементов по \( k \) (читается "n по k") выглядит так: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \] где \( n! \) — факториал числа \( n \).
Теперь посчитаем количество способов выбрать каждый вид фрукта.
Шаг 1: Выбор бананов
Мы хотим выбрать 4 банана из 9: \[ C(9, 4) = \frac{9!}{4! \cdot (9 - 4)!} = \frac{9!}{4! \cdot 5!} \] Посчитаем факториалы:
- \( 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5! \)
- \( 4! = 24 \)
- \( 5! = 120 \)
Теперь подставляем в формулу: \[ C(9, 4) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{3024}{24} = 126 \]
Шаг 2: Выбор апельсинов
Теперь выберем 3 апельсина из 8: \[ C(8, 3) = \frac{8!}{3! \cdot (8 - 3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} \] Считаем: \[ C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56 \]
Шаг 3: Выбор яблок
Наконец, выберем 3 яблока из 9: \[ C(9, 3) = \frac{9!}{3! \cdot (9 - 3)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} \] Считаем: \[ C(9, 3) = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = \frac{504}{6} = 84 \]
Шаг 4: Общий расчет
Теперь, чтобы найти общее количество способов выбрать все фрукты, мы умножим результаты: \[ \text{Общее количество способов} = C(9, 4) \cdot C(8, 3) \cdot C(9, 3) = 126 \cdot 56 \cdot 84 \]
Посчитаем это: \[ 126 \cdot 56 = 7056 \] и \[ 7056 \cdot 84 = 592704 \]
Ответ
Итак, дети могут выбрать 4 банана, 3 апельсина и 3 яблока для приготовления фруктового салата 592,704 способами.
