Чтобы построить график функции ( y = -x^2 - 6x + 7 ) и проанализировать ее основные свойства, выполним следующие шаги:
1. Определим область определения функции:
Область определения квадратичной функции ( y = ax^2 + bx + c ) — это все значения ( x ), для которых функция определена. Для данной функции область определения — это все действительные числа. То есть:
[ D = (-\infty; +\infty) ]
2. Построим график функции:
Функция ( y = -x^2 - 6x + 7 ) является параболой, открытой вниз (так как коэффициент при ( x^2 ) отрицательный).
2.1. Найдем координаты вершины параболы:
Координаты вершины параболы находятся по формуле:
[
x_v = -\frac{b}{2a}
]
где ( a = -1 ) и ( b = -6 ):
[
x_v = -\frac{-6}{2 \cdot -1} = \frac{6}{-2} = -3
]
Теперь найдем значение функции в этой точке:
[
y_v = -(-3)^2 - 6(-3) + 7 = -9 + 18 + 7 = 16
]
Таким образом, вершина параболы имеет координаты ( (-3, 16) ).
3. Определим нули функции:
Чтобы найти нули функции, решим уравнение ( -x^2 - 6x + 7 = 0 ). Умножим уравнение на -1, чтобы упростить его:
[
x^2 + 6x - 7 = 0
]
Теперь найдём дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64
]
Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня:
[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 8}{2} = 1
]
[
x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 8}{2} = -7
]
Следовательно, нули функции — это ( x_1 = 1 ) и ( x_2 = -7 ).
4. Область значений функции:
Так как парабола открыта вниз, максимальное значение функции — это значение её вершины. Минимальное значение будет стремиться к минус бесконечности, так как функция убывает.
Таким образом, область значений:
[
W = (-\infty, 16]
]
5. Промежутки возрастания и убывания:
- Функция возрастает на интервале ( (-\infty, -3) ) (левее вершины).
- Функция убывает на интервале ( (-3, +\infty) ) (правее вершины).
6. Наименьшее и наибольшее значение функции:
- Наибольшее значение функции: ( 16 ) (при ( x = -3 )).
- Наименьшее значение стремится к минус бесконечности.
Итог:
- Область определения: ( D = (-\infty, +\infty) )
- Область значений: ( W = (-\infty, 16] )
- Нули функции: ( x_1 = 1 ), ( x_2 = -7 )
- Промежутки возрастания: ( (-\infty, -3) )
- Промежутки убывания: ( (-3, +\infty) )
- Наибольшее значение: ( 16 ), наименьшее значение: стремится к минус бесконечности.
Теперь можно построить график функции, используя эти данные. График будет выглядеть как парабола с вершиной в точке (-3, 16), опускающейся вниз.
