Постройте график функции y=-x^2-6x+7 с помощью графика найдите область определения и область значения нули функции промежутке законопостоянство промежутке возрастания и убывания…

Чтобы построить график функции \( y = -x^2 - 6x + 7 \) и проанализировать ее основные свойства, выполним следующие шаги:

1. Определим область определения функции:

Область определения квадратичной функции \( y = ax^2 + bx + c \) — это все значения \( x \), для которых функция определена. Для данной функции область определения — это все действительные числа. То есть: \[ D = (-\infty; +\infty) \]

2. Построим график функции:

Функция \( y = -x^2 - 6x + 7 \) является параболой, открытой вниз (так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный).

2.1. Найдем координаты вершины параболы:

Координаты вершины параболы находятся по формуле: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] где \( a = -1 \) и \( b = -6 \): \[ x_v = -\frac{-6}{2 \cdot -1} = \frac{6}{-2} = -3 \] Теперь найдем значение функции в этой точке: \[ y_v = -(-3)^2 - 6(-3) + 7 = -9 + 18 + 7 = 16 \] Таким образом, вершина параболы имеет координаты \( (-3, 16) \).

3. Определим нули функции:

Чтобы найти нули функции, решим уравнение \( -x^2 - 6x + 7 = 0 \). Умножим уравнение на -1, чтобы упростить его: \[ x^2 + 6x - 7 = 0 \] Теперь найдём дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 \] Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 8}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 8}{2} = -7 \] Следовательно, нули функции — это \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -7 \).

4. Область значений функции:

Так как парабола открыта вниз, максимальное значение функции — это значение её вершины. Минимальное значение будет стремиться к минус бесконечности, так как функция убывает.

Таким образом, область значений: \[ W = (-\infty, 16] \]

5. Промежутки возрастания и убывания:

• Функция возрастает на интервале \( (-\infty, -3) \) (левее вершины).
• Функция убывает на интервале \( (-3, +\infty) \) (правее вершины).

6. Наименьшее и наибольшее значение функции:

• Наибольшее значение функции: \( 16 \) (при \( x = -3 \)).
• Наименьшее значение стремится к минус бесконечности.

Итог:

1. Область определения: \( D = (-\infty, +\infty) \)
2. Область значений: \( W = (-\infty, 16] \)
3. Нули функции: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = -7 \)
4. Промежутки возрастания: \( (-\infty, -3) \)
5. Промежутки убывания: \( (-3, +\infty) \)
6. Наибольшее значение: \( 16 \), наименьшее значение: стремится к минус бесконечности.

Теперь можно построить график функции, используя эти данные. График будет выглядеть как парабола с вершиной в точке (-3, 16), опускающейся вниз.