реши задачу Выясните, возрастает или убывает функция: -2/(х-1) на промежутке [3;4]
Чтобы выяснить, возрастает или убывает функция \( f(x) = -\frac{2}{x-1} \) на промежутке \([3; 4]\), нам нужно провести некоторые математические исследования. Следуем пошагово.
Шаг 1: Найти производную функции
Первым делом, найдем производную функции \( f(x) \). Произведем дифференцирование:
\[ f(x) = -\frac{2}{x-1} \]
Для нахождения производной используем правило производной дроби \(\frac{u}{v}\), где \( u = -2 \) (константа) и \( v = x-1 \). Поэтому производная считается по формуле:
\[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]
Поскольку \( u' = 0 \) (производная константы равна нулю) и \( v' = 1 \), подставим в формулу:
\[ f'(x) = \frac{0 \cdot (x-1) - (-2) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{2}{(x-1)^2} \]
Шаг 2: Определить знак производной на заданном промежутке
Теперь нам нужно проанализировать знак полученной производной \( f'(x) = \frac{2}{(x-1)^2} \) на промежутке \([3; 4]\).
Вычислим значение производной в точках интервала:
- Для \( x = 3 \): \[ f'(3) = \frac{2}{(3-1)^2} = \frac{2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
- Для \( x = 4 \): \[ f'(4) = \frac{2}{(4-1)^2} = \frac{2}{3^2} = \frac{2}{9} \]
Поскольку в обеих точках \( f'(3) > 0 \) и \( f'(4) > 0 \), а также \( f'(x) \) положительно на промежутке \([3; 4]\) (так как знаменатель всегда положителен для \( x > 1 \)), это означает, что функция возрастает.
Шаг 3: Вывод
Функция \( f(x) = -\frac{2}{x-1} \) возрастает на промежутке \([3; 4]\).
Заключение
Таким образом, мы выяснили, что функция возрастает на данном промежутке. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!
