Чтобы выяснить, возрастает или убывает функция ( f(x) = -\frac{2}{x-1} ) на промежутке ([3; 4]), нам нужно провести некоторые математические исследования. Следуем пошагово.
Шаг 1: Найти производную функции
Первым делом, найдем производную функции ( f(x) ). Произведем дифференцирование:
[
f(x) = -\frac{2}{x-1}
]
Для нахождения производной используем правило производной дроби (\frac{u}{v}), где ( u = -2 ) (константа) и ( v = x-1 ). Поэтому производная считается по формуле:
[
f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}
]
Поскольку ( u' = 0 ) (производная константы равна нулю) и ( v' = 1 ), подставим в формулу:
[
f'(x) = \frac{0 \cdot (x-1) - (-2) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{2}{(x-1)^2}
]
Шаг 2: Определить знак производной на заданном промежутке
Теперь нам нужно проанализировать знак полученной производной ( f'(x) = \frac{2}{(x-1)^2} ) на промежутке ([3; 4]).
Вычислим значение производной в точках интервала:
- Для ( x = 3 ):
[
f'(3) = \frac{2}{(3-1)^2} = \frac{2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
]
- Для ( x = 4 ):
[
f'(4) = \frac{2}{(4-1)^2} = \frac{2}{3^2} = \frac{2}{9}
]
Поскольку в обеих точках ( f'(3) > 0 ) и ( f'(4) > 0 ), а также ( f'(x) ) положительно на промежутке ([3; 4]) (так как знаменатель всегда положителен для ( x > 1 )), это означает, что функция возрастает.
Шаг 3: Вывод
Функция ( f(x) = -\frac{2}{x-1} ) возрастает на промежутке ([3; 4]).
Заключение
Таким образом, мы выяснили, что функция возрастает на данном промежутке. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!
